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1、创设“数形结合”情境培养学生思维能力大庆市二十八中学吴刚“数形结合”即是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。“数形结合”是求解数学问题的一种常用的思维方法。教师在教学屮经常引导学生创设“数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确刻划与儿何图形的直观描述有机地结合起来，力图在这种结合中，寻找到解题的思想与方法，同时又有利于开拓学生解题思路，发展学生形象思维能力。“数形结合”的方法一般来说可分为以下三种：（1）将几何论证转化为代数计算的“解析法”；（2）利用数（式）来研究形的“以数（式）论形法”（3）利用形来研究数（式）的“以形促数（式）法”。下面举例分别加
2、以说明：一、解析法：例1、在正方形OABC屮，ZD0A=5°OD=OB连接DA。求证：DA//BO解：建立如图1所示的直角坐标系，设正方形的边长为1则D、A的坐标分别为(V2cosl5°,V2sinl5°),(1,从而有kad=V2sinl5°I22J=1(72cos15°-1)初i1122乂Kqb=1:.OA//OB总结评述:有些平血几何题用解析几何的工具证明较为方便，能发挥数形结合的优势。二、以数论形法例2：如图2—动圆M在定圆x2+y2=r2内且与定圆上半部以及X轴都相切，求圆心M的轨迹的方程。y解：由几何条件（即形）易得如下等量关系（即数）om=oc-mc(OO
3、与OM内切于C)MC=MD(OM与X轴切与D)0M2=OD2-^MD2(ODM为RtA)设圆心M的坐标为(x,y)于是有OM
4、=r・y又OM=v-y,0M=+（图2）.•・Q2+y=r-y•・・平方整理得圆心M的轨迹方程是x2=-2r（y-—）2总结评述：以数论形是解析几何侧重的手法，象木例这种求曲线（轨迹）方稈的问题其思考方法就是几何条件解析化，即几何条件（形）——等量关系（数）——代数方程（式）,它是求曲线方程的关键和困难之处。一、以形促数法例3：求函数y=lx2+1+Q天~—4兀+8最小值分析：由题意可知，函数的定义域为R,若从代数角度考虑，确实比较
5、复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决y=+1+Vx2-4x4-8=J（x_O『+（0_l）~+J（兀_2『+（0_2）~令A（0,1）,B（2,2）,P（X,0）则问题化为:在X轴求一点P（x,o）使得
6、pa
7、+
8、pb
9、取最小值•・・a关于x轴的对称点为a‘（o,-i）・・・+
10、PB
11、）min=A'B=J（2_0）2+（2+l）2=Vb注：此题也可这样问：当x取何值时y=Vx2+l+Vx2-4x+8的值最小，X的取值是直线A'B与x轴的交点横坐标。总结评述：代数问题几何化，问题变得容易解决。例4若锐角卩、7满足cos2a+cos2f3+cos2/=1求证
12、：tand•tan0•tan丫»2迈与三条棱a、bxc分别交成Q.0、卩角,又斷”还三仙砖业三仙牛血丘abc解：根据已知条件可设想一个如图4所示的长方体，使其对角线AQ的长为1个单位，且由两个正数的的算术平均数不小于这两数的儿何平均数的定理。tan"・tan0・tan/=7c2+6Z2byjcr+b2〉2y[bc-2y[cci-2y[cib_?迈abc(图4)当且仅当“a=b=c”即长方体为正方体时取等号。总结评述：对于三角问题学生往往只局限于三角知识解答，通过此题可以看出把三角问题恰当几何化，可以简化解题过程。25例5已知正数a,b满足a+b=l,求证：(a+2)~+(/?+2)
13、，»—证明：方法一：构造坐标点M(・2,・2),N(a,b)。贝怀等式的左边就是由条件知N(a,b)是直线x+y=l被两坐标轴截得的线段AB上的点。女U,且AB的屮点c(丄丄)到M(・2,・2)得距离MC25•・・MC是等腰AMAB底边AB上的高MBoANC•・・>MC25即(d+2)2+0+2)2>y(a,b),肓线1：x+y=1及圆M：方法二：构造坐标点N如图6,设圆心M到直线1的距离为-2-2-1则由点到直线的距离公式得：57F而圆M的半径也等于令。(图6)•・・直线1是圆M的一条切线又・・・N(a,b)是直线1:x+y=1被两坐标轴截得的线段上的点,M・・•J(a+
14、2)2+0+2)2>即(a+2)2+0+2尸>y总结评述：木例的证法2可以扩充到实数域上去，本例还可以用两个正数的算术平均数不小于这两数的几何平均数的定理与配方法证得。例6：求sin6°+sin78°+sinl50°+sin222°+sin294°的值分析：仔细观察题目，发现这五个角成公差为72。的等差数列，五个72°的和为360°,使ZXAB=6°则BC,CD,DE,E4与x轴正方向所成的角分别为78°,150°,222°,294°。VABBCCDDEEA在y轴上的
