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1、第四讲导数的综合应用【考情快报】(1)主要考查与不等式恒成立有关的问题、利用导数证明不等式、利用导数研究与方程的解有关的问题.(2)常与分式、指数式、对数式结合在一起考查，考查学生的函数与方程的思想，转化与化归的思想及推理论证能力,属中高档题.【核心自查】一、主干构建二、概念理解1.函数的单调性与导数的关系若函数y=f(x)在某区间内可导，则(1)f′(x)＞0⇒f(x)为_______；(2)f′(x)＜0⇒f(x)为_______；(3)f′(x)=0⇒f(x)为常数函数.提醒：f′(x)＞0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件,f′(x)
2、≥0是函数f(x)为增函数的必要不充分条件.增函数减函数2.函数的极值(1)函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，而且在点a附近的左侧__________，右侧__________，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，而且在点x=b附近的左侧__________，右侧__________，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.f′(x)＜0
3、f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜0三、重要公式1．基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0;(2)若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=nxn-1;(3)若f(x)=sinx，则f′(x)=cosx;(4)若f(x)=cosx,则f′(x)=-sinx;(5)若f(x)=ax,则f′(x)=axlna(a＞0);(6)若f(x)=ex，则f′(x)=ex;(7)若f(x)=logax,则f′(x)=(a＞0，且a≠1);(8)若f(x)=lnx，则f′(x)=.提醒：注意区分函数f(x)=ax与f(x
4、)=logax的导数.2．导数的四则运算(1)［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x);(2)［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);(3).热点考向一解决不等式恒成立问题【典例】(2012·新课标全国卷)设函数f(x)=ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值.【解题指导】(1)先确定函数的定义域，然后求导函数f′(x)，因a值的符号不确定，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一种情况下f′(x)的正负，从而确立单调区间；(
5、2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题.【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f′(x)=ex-a,若a≤0，则f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a＞0，则当x∈(-∞,lna)时，f′(x)＜0;当x∈(lna,+∞)时，f′(x)＞0,所以，f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增.(2)由于a=1，所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.故当x＞0时，(x-k)f′(x)+x+1＞0等价于k＜(x
6、＞0)①令g(x)=,则g′(x)=.由(1)知，函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增，而h(1)＜0,h(2)＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时，g′(x)＜0;当x∈(α,+∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k＜g(α)，故整数k的最大值为2.【拓展提升】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方
7、法(1)分离参数法:第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题;第二步:利用导数求该函数的最值;第三步:根据要求得所求范围.(2)函数思想法:第一步:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题;第二步:利用导数求该函数的极值(最值);第三步:构建不等式求解.热点考向二利用导数证明不等式【典例】(2012·厦门模拟)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R).(1)写出函数y＝f(x)的图象恒过的定点坐标；(2)直线L为函数y＝φ(x)的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线(P为切点)，如果函数y＝φ(x)图象上所有的点(点P除外)总
8、在直线L的同侧，则称函数y＝φ(x)为“单侧函数”.①当a=时，判断函数y＝f(x)是否为“单侧函数”，若是，请加以证明，若不是，请说明
