【教师专用】2015高考数学专题辅导与训练配套课件选修.ppt

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1、第四讲导数的综合应用1.(2014·陕西高考改编)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,求函数的解析式.【解析】由已知可得此函数为三次函数且过原点,故可设函数解析式为y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知f′(0)=-1,f′(2)=3,f(2)=0,即c=-1,12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,解之得a=,b=-,c=-1.所以y=x3-x2-x.2.(2014·辽宁高考改编)当x∈[-

2、2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,求实数a的取值范围.【解析】当x∈(0,1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0⇒a≥x∈(0,1]恒成立.令g(x)=,x∈(0,1]，则g′(x)=,x∈(0,1]，设h(x)=-x2+8x+9，h(x)在(0,1]上为增函数，h(x)>h(0)=9>0，所以x∈(0,1]时,g′(x)=则g(x)=在(0,1]上为增函数，g(x)=,x∈(0,1]的最大值g(x)max=g（1）=-6；从而a≥-6；当x=0时，a∈R；当x∈[-2,0)时，不等式ax3

3、-x2+4x+3≥0⇒a≤，x∈[-2,0)恒成立.所以g(x)=在[-2,-1)上为减函数，在(-1,0)上为增函数，故g(x)min=g（-1）=-2，则a≤-2.综上所述，-6≤a≤-2.3.(2014·浙江高考)已知函数f(x)=x3+3

4、x-a

5、(a>0),若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a).(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.【解析】(1)因为a>0,-1≤x≤1,所以①当0

6、)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,a)上是减函数;若x∈[a,1],则f(x)=x3+3x-3a,f′(x)=3x2+3>0,故f(x)在(a,1)上是增函数;所以g(a)=f(a)=a3.②当a≥1时,有x≤a,则f(x)=x3-3x+3a,f′(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数,所以g(a)=f(1)=-2+3a.综上所述,(2)令h(x)=f(x)-g(a).①当0

7、x)在[a,1]上是增函数,所以h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)=4-3a-a3且00,所以t(a)在(0,1)上是增函数,所以t(a)

8、=-2+3a,故h(x)=x3-3x+2,得h′(x)=3x2-3,此时h(x)在(-1,1)上是减函数,因此h(x)在(-1,1)上的最大值是h(-1)=4.故f(x)≤g(a)+4,综上,当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.热点考向一利用导数研究方程根的问题【考情快报】难度:基础题命题指数:★★☆考查方式:主要考查在利用导数研究函数的单调性、极值、最值的基础上,画出函数的草图,结合图象的变化趋势,研究方程的根的问题【典题1】(2014·长沙模拟)已知函数f(x)=ex,x∈R.若x>0,试讨论

9、曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.【信息联想】看到判断曲线y=f(x)与曲线y=mx2的公共点,想到_________________________.判断函数的极值和变化趋势【规范解答】曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y=与y=m的公共点个数.令φ(x)＝，则φ′(x)＝，所以φ′(2)＝0.当x∈(0,2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0,2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)

10、＝.当0时，曲线y＝与y＝m在(0，＋∞)上有两个公共点.综上所述，当x>0时，若0，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点.【互动探究】题中条件不变,求证曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯