专题15：集合中计数问题的研究与拓展.doc

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1、专题1・5：集合中计数问题的研究与拓展【拓展探究】探究1：记集合P=｛0,2,4,6,8),0=｛加丨加=100山+10他+^3，且Qi，他，ci3^P),将集合0中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是・464探究2：设r,s,t为整数,集合｛aa=2r+2S+23,/neN*)时的数列｛an｝的最小项为数列的第项；探究3：记集合卩=｛0,123,4,5

2、,6｝,M=丿牛+贵+守+训q",i=l,2,3,4l,将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是.竺2401(本质是十进制转化为七进制表示)探究4：已知集合A=a?,…，a)(k三2),其中a.eZ(/=k),由A中的元素构成两个相应的集合：S=｛(d,b)aeA,beA,a+bwA｝,T=

3、(6/,b)agA,Z?eA,a-beAj.其中(a,b)是有序数对，集合S和丁中的元素个数分别为⑵和〃.若对于任意的awA，总有-Q电「则称集合A具有性质P.(1)检验集合｛0,1,2,3｝与｛-1,2,3｝是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；(2)对

4、任何具有性质p的集合a,证明：2(3)判断加和〃的大小关系，并证明你的结论.ft?：(1)集合｛0,123｝不具有性质P.集合｛-1,2,3｝具有性质P,其相应的集合S和T是S=｛(-1,3),(3,-1)｝,T=｛(2,_1),(2,3)｝・(2)证明：首先，由A中元素构成的有序数对(印①)共有疋个.因为OeA,所以（q,®）《T（i=l,2,…，k）；又因为当aeA时，时，-deA,所以当（q,a.）eT时，（％,T（bj-L2,---,k）.从而，集合卩中元素的个数最多为丄伙$一幻二泄二12,22即〃2（3）解：m=n,证明如下：（1）对于（a,b）wS,根据定义，cieAf

5、beAr且a+从而（a+b,Z?）eT.如果（g,b）与（c,“）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而d+Z?二c+d与b=d中也至少有一个不成立.故（a+b,b）与（c+d,d）也是厂的不同元素.可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m

6、数，即nm,由（1）（2）可知，m-n・探究5：对于正整数〃，记/„={1,2,3,4,•••,«}，若/”的子集A中至少含有两个元素，且4中任意两个不同的元素之和不是整数的平方，则称A为仁的“稀疏集”•（1）写出人的所有稀疏集；（2）求n的最大值，使得人能分成两个不相交的稀疏集的并.拓展：对正整数n，记Itn={1,2,3,…,化问wIm,力你}・（1）求集合马中元素的个数；（2）若匕的子集4中任意两个元素之和否悬整数的平方，则称A为“稀疏集"，求，使化能分成两人上不相交的稀疏集的并.【解析】(1)当&=4时.｛尹加丘人｝中仃3个数与人中的3个数重如因此人中元素的个数为7x7-3

7、=46・(II)先证'^n>5时.巳不能分成两个不相交的稀加集的并•若不然.设A.B为不相交的稀疏集•使45=匕#•不妨设IeA•则因1+3=2，・故•即3已B、同理6gJ,IOwB・又推得15w/l,但1+15=42・这与A为稀疏集矛盾.再证弘符合要求.当&=1时.｛关”“胡=人可分成两个稀疏集Z并•事实上.只要取4=｛1,2,469,11,13,駕=｛3,5,7,8,10,12,14｝・则人・目为稀疏集,且4u坊=£・当jt=4时,集吩心中除整数外剩卜•的数组成集&黑…即可分解为卜面两稀疏集的并:=2J・'*U=9时.集｛手”€/14｝中除正幣数外剩卜的数组成集&名雳…•耳中

8、叮分解为卜面两稀疏集的并:.J451013"产中亍亍亍'亍最后,集｛菲〃疋仏朮€人,」必工1,4,9｝且中的数的分配均为无理数•它与弘中的任何其他数Z和都不是築数•因此.令A=^uA2^A,uC・B=BOB】oB.、,则A和B是不相交的柿疏集.=探究6：集合综上，所求n的最大值为14.S={1,2,3,・・・,9},集合A=[a^a2,a3]是S的子集,且a[9a29a3满足a｛