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1、第八章Fourier变换§1Fourier积分定理§5卷积与卷积定理§4Fourier变换的性质§3单位脉冲函数的Fourier变换§2Fourier变换§6Fourier变换的应用主要内容Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系.它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要．周期函数的Fourier级数§1Fourier积分定理非周期函数
2、的Fourier积分若以T为周期的函数fT(t)满足狄利克雷(Dirichlet)条件：则函数fT(x)在上可以展开成傅里叶级数.1)在上连续或只有有限个第一类间断点;2)在上只有有限个极值点,一、周期函数fT(x)的Fourier级数在fT(t)的连续点处，其中，且在fT(t)的间断点t处,傅里叶级数收敛于傅里叶级数的三角形式其中，且傅里叶级数的复指数形式利用可得即二、非周期函数f(t)的Fourier积分周期函数fT(t)非周期函数f(t){Ow1w2w3wn-1wn{w记作Fourier积分定理设f(t)在满足下列条件
3、:(1)f(t)在任何有限区间上满足展开为Fourier级数的条件,即狄利克雷条件：只存在有限个第一类间断点和有限个极值点；(2)f(t)在上绝对可积,即收敛.则在f(t)的连续点处而在f(t)的间断点处Fourier积分的复指数形式Fourier积分的三角形式利用可得推导又由于当f(t)是奇函数时，则有傅里叶正弦积分公式当f(t)是偶函数时，则有傅里叶余弦积分公式1Fourier变换的定义2Fourier变换的物理意义§2Fourier变换f(t)的Fourier变换若f(t)满足Fourier积分定理的条件，则在f(t)
4、的连续点处，有则若设F(w)的Fourier逆变换F(w)=Ff(t)=F记为其中，F(w)称作f(t)的像函数，f(t)称作F(w)的像原函数。并称以上两式为一对傅里叶变换对。例1求指数衰减函数的Fourier变换.tf(t)o1根据Fourier变换的定义在无线电技术、声学、振动理论中，Fourier变换和频谱概念有密切联系.时间变量的函数f(t)的Fourier变换F(w)称为f(t)的频谱函数，频谱函数的模称为振幅频谱(简称为频谱).例2求矩形脉冲函数(E>0)的频谱.otE...由频谱函数的定义w
5、F(w)
6、OEt
7、故频谱为(如图所示)1单位脉冲函数的定义3单位脉冲函数的Fourier变换§3单位脉冲函数的Fourier变换2单位脉冲函数的性质引例：在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)
8、的函数,简单记成d-函数:一、单位脉冲函数的定义定义1其中，定义2若函数满足下列两个条件：则称其为单位脉冲函数，或δ-函数。可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.tOd(t)1如果脉冲发生在时刻t=t0，则函数为δ(t-t0)t0δ(t-t0)（1）对任意的连续函数（2）对任意的有连续导数的函数（3）为偶函数，即二、单位脉冲函数的性质（4）与单位阶跃函数的关系：或二、单位脉冲函数的性质（续）于是d(t)与常数1构成了傅氏变换对.三、单位脉冲函数的傅氏变换例如常数函
9、数,符号函数,单位阶跃函数以及正、余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例1证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.证明：例2求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换.tpp-w0w0Ow
10、F(w)
11、例3证明：证：§4Fourier变换的性质1.线性性质:设a,b是常数，则例1计算2对称性质设则证明由Fourier逆变换有于是将t与w互换,则所以3相似性质设则(其中为常数).证明
12、由Fourier变换的定义,令则于是当a>0时,当a<0时,综上所证,即得翻转性质设则由相似性质可直接得到时移性质设则(其中t0为常数).频移性质设则(其中w0为常数).4位移性质像原函数的位移像函数的位移例2计算。分析：(方法1)先用平移性，再用相似性方法2：先用相似性，再用平移性平移相
