复变函数 复习讲义new

《复变函数 复习讲义new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二、复数的三角表示和指数表示第一章复数与复变函数1.复数的模(或绝对值)一、复数的概念2.复数的辐角与辐角主值1.复数的定义3.复数的三角表示和指数表示复数可以表示成z=r(cosθ+isinθ)复数的三角表示式复数不能比较大小.iθ2、复数的代数运算再利用欧拉公式e=cosθ+isinθ,1)和；2）积；3）商；4）共轭iθ复数可以表示成z=re复数的指数表示式三、乘积与商3.方根1w=nz=rn⎛cosθ+2kπ+isinθ+2kπ⎞1.几何意义⎜⎟⎝nn⎠2.幂(k=0,1,2,?,n−1)nn在几何

2、上,nz的n个值就是以原点为中心,nr为半径(cosriθ+=+rrnsin)θθ(cosisinnθ).的圆的内接正n边形的n个顶点.五、区域及相关概念*四、复平面与复球面六、复变函数1.用复数方程表示平面曲线1.单(多)值函数的定义（给出平面曲线要求用复数方程表示，给出方程要求描述曲线）2.复变函数与自变量之间的关系3、函数的极限与连续2.复球面(引入复数∞)1函数解析的判定方法:第二章解析函数(1)先判定可导一、可导、可微与解析（a）定义（）求导法则b二、解析函数的判定(c)()fzuivuv=+中,

3、在D内存在连续偏导数三、解析函数的几个充要条件并满足CR−方程(2)再判定解析四、初等函数求函数导数的方法:1、单值函数（a）定义（）求导法则bzxez==expey(cos+isin)yeeiz+−iziz−izee−(c)'()fzui=+=−vviucosz=,sinz=.xxyy22i要求：会计算各初等函数，掌握其基本性质注意：与实函数的区别2、多值函数第三章复变函数的积分bbLnaLnz=ln

4、z

5、+iArgzae=一、积分的计算法与性质=lnz+2kπiThm如果f()zC是连续函数而：z=+z

6、()=()txtiy()t()t∈（，）为起点，为终点是光滑曲线则积分αβαβ,要求：会计算各初等多值函数∫fzz()d一定存在，且Cβ∫fz()dz=∫αfz()()tz'()tdtC2二、解析函数的积分三、Cauchy积分定理及其应用(类似于牛顿-莱布尼兹公式)１.Thm（柯西－古萨基本定理）如果函数()fz在单连通域B内处处解析,如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,Gz()()为fz的一个原函数那末,z那末函数f(z)沿B内的任何一条封闭曲线C1fG()dζζ=−()zG()z∫10z0的积分为零

7、:∫f(z)dz=0.c这里,zz为域B内的两点.012.复合闭路定理3、Cauchy积分公式第四章级数定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶一.级数和序列的基本性质(n)n!f(z)导数为:f(z0)=∫n+1dz(n=1,2,?)二.幂级数2πi(z−z)C01.掌握收敛圆与收敛半径的求法其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z的0c比值法R=limn根值法R=lim1/nc任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部全含于D.nn→∞cn→∞n+1要求灵活应用Cauchy积分定理、复合闭路定理和C

8、uachy积2.幂级数的基本性质分公式，明确解析函数的导数仍然解析这一特殊性质。三、将函数展开成泰勒级数间接法：熟记公式及灵活应用幂级数的性质四、洛朗级数2n∞n1)ez=1+z+z+?+z+?=∑z,掌握间接法，注意洛朗级数的形式与展开域有2!n!∞n=0n!关12nnnn2)=−+−+−1zz??(1)z+=−∑(1)z,1+zn=0352n+1zznz3)sinzz=−+−+−??(1)+,3!5!(2n+1)!242nzznz4)cosz=−+−+−1??(1)+,2!4!(2)!n3间接展开法步骤

9、：1.根据函数所在的解析圆环确定级数形式第五章留数如函数f在0<

10、z-z0

11、

12、用已知展式展开整理，注意展式成立的条件如何判定有限孤立奇点的类型?如何判确定有限极点的级?孤立奇点去心邻域内洛朗级数limf(z)(1)由定义判别:Laurentseriesz→z0(2)由定义的等价形式判别可去奇点无负幂项存在且为g(z)有限值在点z0的某去心邻域内f(z)=m(z−z)0含有限个负幂项∞其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)≠0.m级极点关于(z−z)−1的最高幂0−m(3)零点与极点的