2、/(z)-/4
3、vw。z—>ZO注：复函数极限定义本质和表述与一元实函数完全相同，但一勺的方式是任意的一一同二元函数相同。运算性质设lim/(z),limg(z)存在，贝!)⑴lim[/(z)±g(z)]=limf(z)±limg(z);ZTZ。ZTZo2->Z0(2)lim/(z)・g(z)=limf(z)・limg(z);2->20ZT%limg(z)H0oZTZo丿(3)h*埋zTz°g(z)limZTZo定理1设/(z)=u+
4、vi,A=u0+zv0,z0=x0+iy0flimf(z)二Aolimu{x.y)=limv(x,y)=v0oZTZ°Xf巾X—・'Tyoy-^.Vo证明利用定义见教材。2.连续概念及性质定义5函数/(z)在点％处连续:lim/(z)=/(z0)o若/(z)在区域Q上处处连续，称/(z)在区域D上连變例6证明：argz在原点及负实轴上不连童、证明当"0时，ar,无定义，故不连续"当"0时，•・・-7Ta-若y>0HOlimargz一兀oz->x若〉y()
5、limargz不存在，故ZfY不连续;综上讨论知，argz在原点及负实轴上不连续。定理2函数/(z)-u+vi在点z0=x0+iy0处连续o心y),v(x,y)在点(兀o,%)处连续。运算性质连续函数的和、差、积、商(分母不为零处)及复合函数仍为连续函数。例7指出函数/(z)=lng+y2)+佞的连续区域。解要使其实部与虚部连续，则需/+丿2>0。七),不同时为0。从而，函数的连续域为Z平面除*0外的区域。第二章解析函数§1解析函数的概念与充要条件一、导数与微分1.定义及运算定义设若lim学"tO&lim%。+")7(%)卅则称"->(
6、)Az/(z)在点z°处可导，其值称为/(z)在z°处的导数，记为广CJ或半。dzf/(z)在区域D内可导O/(z)在区域D内处处可导。例1证明：⑴=亠。证明=lim/C+aJ-・/(三)=iim毘_+=lim—=_丄。"->oZz"-》0Az>0z[z+Az)z2由导数的定义式，与一元函数完全相同,借鉴例1,可以证明,实函数的求导公式及其运算法则，如四则求导法则、复合求导法则、反函数求导法则等对于复变函数均成立。例2设/(z)=(z3+2z-1)5+4^求广(z)。Z解广(z)=5(z3+2z-1)4(3z?+2)—*=5(3z2+
7、2心+2z—l)4—二。zz但是，AztO或z=Zo+Aztz°：方向任意，方式无穷。使得复函数多不可导。例3讨论/(z)Y的可导性.解•・・f(z)=z=x-yi,/(z+Az)-/(z)=(im(x+Ax)_心+△》)_(x_yi)z.limAz->0AzAv->0Ay—>0Ax+iAyAx-zAy[1,沿实轴Tz(zy=O),軽Av+iAy一[-1,沿虚轴Tz(心=0)从而，/(z)=z处处不可导。2•可导、可微与连续的关系性质可导必连续,但反之不然.limAz->0Az证明对Vz(),设广(z(J存在，则/(z()+Az)-/
8、(%)=广(Z。)，/•(%+&)-/(%)=广匕)+aL&=JAz匕to7d/(z°+Az)-f(z0)=ff(z0)zz+a•Az(*)Alimf(z0+Az)=f(z0),即/(z)在点z0处连续。AztO之,如/(z)=Z•••肥/(%+Az)=曲+心)-6o+Ay)=x0-/Jo=耳Ay->()/(z)=z处处连续,但由例3的讨论知道，f(z)=z处处不可导。定义2设w=/(z)在点Z。处可导,则由(*)式知Aw=/'(z0)Az+o(Az)成立，称ff(z())Az为/(z)在点z°处的微分，记为加二广(z°)Az。此时也
9、称/(z)在z°处可微。由定义知道，可导O可微。特别地，・・・〃z=l•&,.・.又记dw=f(zjdz。/(z)在区域D内可微o/(z)在区域Q内处处可微。2.可微或可导的充分必要条件定理1函数/(Z)=M+VI在点Zo=Xo+d'o处可微或可导黎曼(c—ou(x,yv(x,y)在点(x0,比)可微且满足柯西R)方程:8u_dvdu_dvdxdy"dydx证明见教材。特别注意在证明过程中，有结论广(z)=du.dv——+1——odxdx注：1°・判断⑺可微用其充分条件：一阶偏导连续;2°.C—R方程dudx_dvdu~~dy'~dy
10、的记忆法：cuduSr石:dvdvdxdy例4讨论函数—W的可导性。解•/w=z2=x2+y2,.u=x2+y2,v=0f于是,ux=2x,uy=2y;vx==0,易见，仅当兀=y=0时,ux=vyuy
