复变函数讲义第5章

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1、一、复数项无穷级数二、复变函数项级数第一节幂级数三、小结复数列及其极限复数项级数的概念及其收敛性的判定复数函数项级数的概念幂级数及其收敛性1一、复数列的极限1.定义22.复数列收敛的条件此定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.3下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解例14解所以数列发散.5二、复数项(无穷)级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前面n项的和称为级数的部分和.部分和6收敛与发散说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:782.复数项级

2、数收敛的条件定理2说明复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理2)9解所以原级数发散.课堂练习10级数收敛的必要条件重要结论:11不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.123.绝对收敛与条件收敛定理3条件收敛.如果收敛,那末称级数为绝对收敛.定理3说明，绝对收敛的级数本身一定是收敛的；但反过来，13证由于而根据实数项正项级数的比较审敛法,知由定理2可得[证毕]（实数项）正项级数14说明所以，由正项级数的比较审敛法知15都收敛,故原级数收敛.

3、但是级数条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的.解因为例2(1)级数是否绝对收敛?(2)级数是否绝对收敛呢?16例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解17为复变函数项级数.为该级数前n项的部分和.设是定义在区域D上的复变函数列,称三、复变函数项级数1.定义18S(z)称为该级数在区域D上的和函数.如果对级数收敛,即则称级数在点收敛,且是级数的和.如果级数在D内处处收敛,则称其在区域D内收敛.此时级数的和是D内的函数2.收敛概念及和函数19这类函数项级数称为幂级数.

4、或的特殊情形函数项级数三、幂级数1.定义20定理4(Abel定理)若级数在处收敛，则当时,级数绝对收敛;若级数在处发散，则当时,级数发散.2.幂级数的敛散性21收敛圆与收敛半径(1)级数在复平面内处处绝对收敛.(2)级数仅在z=0(即原点处)收敛，除原点外处处发散.(3)在复平面内既存在使级数发散的点,也存在使级数收敛的点。由,幂级数收敛情况有三种:22..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域...设时,级数收敛;时,级数发散.如图:23幂级数的收敛范围是因此，事实上,幂级数在收敛圆周

5、上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形,分别规定为论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数进行具体分析.24收敛半径的求法设级数(比值法)如果则收敛半径(根值法)如果则收敛半径当时,收敛半径当时,收敛半径25解级数收敛,级数发散.绝对收敛,且有在内,级数例4求级数的和函数与收敛半径.所以收敛半径26例5求下列幂级数的收敛半径：(1)(2)27由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质：(1)设级数和的收敛半径分别为和则在内,3.

6、幂级数的性质28(2)幂级数的和函数在收敛圆内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项求导和逐项积分。29(3)设级数的收敛半径为r.如果在内,函数解析,并且则当时,30例6求的收敛半径与和函数.解因为所以当时,又因为从而,31例7把函数表示成形如的幂级数,其中a与b是不相等的复常数.代数变形,使其分母中出现凑出把函数写成如下的形式:32当即时,所以33三、小结1.复数项无穷级数34非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.复级数的绝对收敛与条件收敛如果收敛,那末称级数为绝对收敛.绝对收敛条件收敛35方

7、法1:比值法方法2:根值法收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径2.幂级数36幂级数的运算与性质37第三节泰勒级数二、泰勒展开定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考38一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.39由柯西积分公式,有其中K取正方向.则4041由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内42令则在K上连续,43即存在一个正常数M,44在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数45如果到

8、的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在　　　　内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于　，但46二、泰勒展开定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当47说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)48因为　　解析，可以保证无限次可导即各阶导数连续.所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广的多.注意问题：利用泰