酒杯中的解析几何问题.ppt

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1、酒杯中的解析几何问题问题1　张华同学家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰三角形，称之为直角酒杯，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯k口宽4cm，杯深8cm,称之为抛物线酒杯。一次，张华在游戏中注意到一个现象，若将一此大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球都不可能触及酒杯杯底。但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯底部，张华想用所学数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大时，玻璃球一定会触及酒杯底部。你能帮助张华解决这个问题吗？解：如图，以杯底中心为原点，建立直角坐标

2、系，设抛物线方程为x2=2py(p>0).将x=2,y=8代入抛物线方程，得p=1/4,∴抛物线方程为　x2=y/2解法1　设圆心在y正半轴且过原点的圆方程为x2+(y－r)2=r2将它代入抛物线方程，消去x，得y2+(1/2－2r)y=0∴y1=0,y2=2r－1/2要使玻璃球在杯中能触及酒杯底部，则要求y2=2r－1/2≤0即当00).将x=2,y=8代入抛物线方程，得p=1/4,

3、∴抛物线方程为　x2=y/2解法2　设抛物线上动点P的坐标为（a,2a2),过原点的圆方程为　x2+(y－r)2=r2若要使玻璃球在杯中能触及酒杯底部，则P到圆心（0，r）的距离要恒大于等于r即a2+(2a2－r)2≥r2恒成立　，即r≤a2+1/4　恒成立，∴　0

4、解：如图，椭圆方程为9x2+4y2=100圆的方程为x2+(y+5－r)2=r2代入椭圆方程消去x,得13y2+18(5－r)y+125－90r=0y1=-5,要使玻璃球触及杯底，则要y2≤－5,即当0

5、x2=y/2由　　　　　　消去y，得2x2－kx－b=0x=(x1+x2)/2=k/2y=kx+bk=4xb=y－4x2∵

6、AB

7、=2,由弦长公式得：(1+k2)[(x1+x2)2－4x1x2]=4∴(1+k2)(k2/4+2b)=4,将以上k,b的值代入得(1+16x2)(y－2x2)=2此时x=±√3/2问题3　定长为2的线段AB的两个端点在抛物线x2=y/2上移动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标。解法二：直线方程设为参数方程解法三：运用第二定义解｜MD

8、=(

9、

10、AA′

11、+

12、BB′

13、)/2=(

14、AF

15、+

16、BF

17、)/2由于｜AB｜=2大于通径1/2,因此｜AF｜＋｜BF｜≥

18、AB

19、∴y=

20、MD

21、－1/8≥

22、AB

23、/2－1/8=7/8当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立。以上部分略问题4　在问题1、2中，我们可以将实际问题转化成数学问题，并加以解决，现在对纯数学形式的问题3，我们则可以反其道而行之。设想在张华家中的抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀，长度为2的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的磨擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒的中心（即细棒的重心）

24、处于最低位置的状态。显然，答案就是问题3的结果，当细棒通过抛物线酒杯的焦点时，细棒将达到平衡状态。进而，我们就可以提出一个更一般的问题：如果细棒的长度为m，那么对于不同的m值，细棒的平衡状态有差异吗？答案是：（1）当m≥2p＝1/2,时，细棒过抛物线的焦点时达到平衡状态；（2）当m＜2p=1/2时，细棒呈水平状态时重心最低，达到平衡状态。再见新河中学　林建成