2017-2018学年高中数学 第四章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值分层训练 湘教版选修2-2.doc

《2017-2018学年高中数学 第四章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值分层训练 湘教版选修2-2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、4.3.3　三次函数的性质：单调区间和极值一、基础达标1．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值答案　D解析　由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是(　　)A．0B.C.D.答案　B解析　y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.3．函数y＝的最大值为(　　)A．e－1B．eC．e2D.答案　A解析　令y′＝＝＝

2、0.(x＞0)解得x＝e.当x>e时，y′<0；当0＜x

3、－∞，2ln2－2]解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．6．函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是________．答案　＋解析　y′＝1－2sinx＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的

4、值及f(x)在[－2,2]上的最大值．解　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)＋0－0f(x)－40＋a极大值a－8＋a∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.5当x＝0时，f(x)的最大值为3.二、能力提升8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当

5、MN

6、达到最小时t的值为(　　)A．1B.C.D.答案　D解析　由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出

7、MN

8、＝y＝t2－lnt(t>0)．

9、y′＝2t－＝＝.当0＜t＜时，y′＜0，可知y在上单调递减；当t＞时，y′＞0，可知y在上单调递增．故当t＝时，

10、MN

11、有最小值．9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是(　　)A．(－∞，3]B．(－∞，5]C．[3，＋∞)D．[5，＋∞)答案　D解析　∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在(a，b)上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a，b]上恒成立，即

12、有t≥在[a，b]上恒成立，而函数y＝在[1,3]上单调递增，由于a∈[1,2]，b∈(2,3]，当b＝3时，函数y＝取得最大值，即ymax＝＝5，所以t≥5，故选D.10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．答案　－5解析　f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－＋a＝－.11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值

13、，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2

14、c

15、恒成立，求c的取值范围．解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．∴，∴.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：x(－∞，－1)－1(