高中数学第四章4.3导数在研究函数中的应用4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值基础达标

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1、4.3.3　三次函数的性质：单调区间和极值1．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象如下图，则它的导数f′(x)的图象最可能是(　　)．答案　C2．函数f(x)＝x3－3x＋3，当x∈时，函数f(x)的最小值是(　　)．A.B．－5C．1D.答案　C3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极值为(　　)．A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为－C．极小值为－，极大值为0D．极小值为0，极大值为4答案　A4．已知函数f(x)

2、＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.答案　325．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．解析　∵f(x)＝x3＋ax∴f′(x)＝3x2＋a，由题意，得Δ＝02－4×3×a>0，∴a<0.答案　a<06．已知函数f(x)＝x3－ax－1(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(

3、3)证明　f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．(1)解　f′(x)＝3x2－a，由3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，易知当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)解　由3x2－a<0在(－1,1)上恒成立，∴a>3x2.但当x∈(－1,1)时，0<3x2<3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明　取x＝－1，得f(－1)＝a－2

4、线y＝a的下方.∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．7．函数y＝ax3－2x在[2,8]上是减函数，则(　　)．A．a＝B．a＝0C．a≤D．a<0答案　C8．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为(　　)．A．(－2,2)B．[－2,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，－2]解析　y′＝3x2－3，由y′＝0，得x＝1或x＝－1.4当x<－1时，y′>0；当－11时，y′>0.所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上递增，(－1,1)

5、上递减，(1，＋∞)上递增．当x＝－1时，y取得极大值(－1)3－3×(－1)＝2；当x＝1时，y取得极小值13－3×1＝－2.因此，a的取值范围为－2m，则实数m的取值范围为________．解析　f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，∴f(x)的最小值为，∴m<.答案　10．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为

6、正数，极小值为负数，则a的取值范围为________．解析　f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，由f′(x)>0，得x>a或x<－a，由f′(x)<0，得－a0；当x＝a时，f(x)取得极小值f(a)＝－2a3＋a<0.又a>0，∴a>.答案　11．(2011·重庆)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线

7、x＝－对称，且f′(1)＝0.①求实数a，b的值；②求函数f(x)的极值．解　①∵f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝6x2＋2ax＋b.4由题意知，－＝－且6×12＋2a×1＋b＝0，∴a＝3，b＝－12.②由①知，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.∴f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.由f′(x)>0，得x>1或x<－2，由f′(x)<0，得－2

8、上递增．∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－6.12．(创新拓展)(2011·天津)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.①当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；②当t≠0时，求f(x)的单调区间．解　①t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6，又f(0)＝0.∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y