幂函数的图像及性质.ppt

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1、知识点——幂函数的图像及性质幂函数的图像及性质【幂函数的性质】函数性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR[0，＋∞){x

2、x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

3、y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)幂函数的图像及性质【幂函数的性质】提示：幂函数y＝xα(α∈R)随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不同．但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定.幂函

4、数的图像及性质【幂函数的图像】在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象分别如下图.幂函数的图像及性质【典型例题】1、已知f(x)＝，(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明；(2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值.解：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x10，x2－x1>0，x12x22>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴

5、函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.幂函数的图像及性质【典型例题】2、已知幂函数y=xp-3(p∈N*）的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．解：∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，∴p－3<0，即p<3，又∵p∈N*，∴p＝1，或p＝2.∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2，由，∵函数在(－∞，＋∞)上是增函数，

6、∴由，得a-1<3+2a即a>-4.∴所求a的取值范围是(－4，＋∞)．幂函数的图像及性质【变形训练】1、已知幂函数，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？解：由于为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2，或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3，在(0，＋∞)上为减函数；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)在(0，＋∞)上为常函数，不合题意，舍去．幂函数的图像及性质【变形训练】故所求幂函数为y＝x－3.这个函数是奇函数，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据

7、函数在x∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上也为减函数.