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《弹塑性力学 第05章弹性力学问题的建立和一般原理.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章弹性力学问题的建立和一般原理§5-1弹性力学的基本方程及其边值问题§5-2位移解法§5-3应力解法§5-4弹性力学的一般原理§5-5弹性力学的简单问题(1)综合弹性力学的基本方程，并按边界条件将问题分类；(2)阐述解决弹性力学问题通常采用的两种方法——位移解法和应力解法，并推演其相应的方程；(3)介绍弹性力学的几个一般原理；(4)介绍弹性力学的几个简单问题；§5-1弹性力学的基本方程及其边值问题¾平衡（运动）微分方程：（3个方程）σ+F=0基本方程组ij,ibj包含15个方¾几何方程：（6个
2、方程）程和15个未知量1εij=(ui,j+u,ij)6应力分量26个应变分量¾物理方程：（6个方程）3个位移分量1ε=[()1+νσ−νσδ]ijijkkijE或σ=λεδ+2Gεijkkijij解决这些方程，还须给出边界条件①面力边界σijnj=fsi在上S②位移边界ui=ui在上S③混合边界σn=f在上Sijjsiσui=ui在上Su分别称为弹性力学的第一类、第二类和第三类边值问题，第三类也称为混合边值问题。如不考虑物体的刚体运动，则三类边值问题的解是唯一的。以应力为基本未知量时还应满足应变
3、协调方程。由前述方程组可知：如果给出了位移分量，则不难先由几何方程求出应变分量，再由物理方程求应力分量；反之，如果给出了应力分量，则很容易由物理方程求出应变分量，但把所求得的应变分量代入几何方程后，为了使几何方程组不矛盾，从而通过它们的积分求出位移分量，这就要求这组应变分量满足一组补充方程，即应变协调方程：εee=0ij,klikmjln因此，通常可以采用两种方法求解弹性力学问题：一种是以位移分量作为基本变量求解，称为位移解法；另一种是以应力分量作为基本变量求解，称为应力解法。§5-2位移解法以位
4、移分量为基本变量求解弹性力学的方法，称为位移解法。在平衡方程、几何方程和物理方程中消去应力分量和应变分量以得到只包含位移分量的方程（即以位移表示的平衡方程，称为拉梅-纳维方程），同时，边界条件也用位移分量表示。⎧()∂θ2λ+G+G∇u+F=0⎪bx∂x⎪⎪∂θ2⎨()λ+G+G∇v+Fby=0拉梅方程⎪∂y⎪()∂θ2⎪λ+G+G∇w+F=0bz⎩∂z拉梅-纳维方程也可表示为()2λ+Gu+G∇u+F=0k,kiibi拉梅-纳维方程还可表示为矢量形式()2λ+G∇θ+G∇U+F=0bU为位移矢量
5、，F为单位体积力矢量。b边界条件f=λun+Gun+Gunsik,kii,jjs,is总之，以位移作为基本变量求解时，归结为在给定的边界条件下求解拉梅-纳维方程。求得了位移分量，就可通过几何方程和物理方程求应变分量和应力分量。§5-3应力解法以应力分量为基本变量求解弹性力学的方法，称为应力解法。要求在体内满足平衡方程，其相应的应变分量还须满足应变协调方程。这样从应变协调方程和物理方程中消去应变分量得到以应力表示的协调方程（简称应力协调方程）———贝尔特拉米---米歇尔方程。总之，以应力为基本变量求
6、解时，归结为在给定的边界条件下求解由平衡微分方程和应力协调方程组成的偏微分方程组。贝尔特拉米-米歇尔方程2∂F21∂Θ1⎛⎜∂Fbxby∂Fbz⎞⎟∂Fbx∇σ+=−++−2x2⎜⎟1+ν∂x1−ν⎝∂x∂y∂z⎠∂x2∂F∂F21∂Θ1⎛∂Fbxby∂Fbz⎞by∇σ+=−⎜++⎟−2y2⎜⎟1+ν∂y1−ν⎝∂x∂y∂z⎠∂y2∂F21∂Θ1⎛⎜∂Fbxby∂Fbz⎞⎟∂Fbz∇σ+=−++−2z2⎜⎟1+ν∂z1−ν⎝∂x∂y∂z⎠∂z2∂F21∂Θ⎛∂Fbzby⎞∇τ+=−⎜+⎟yz⎜⎟1
7、+ν∂y∂z⎝∂y∂z⎠221∂Θ⎛∂Fbx∂Fbz⎞∇τxz+=−⎜+⎟1+ν∂x∂z⎝∂z∂x⎠2∂F21∂Θ⎛by∂Fbx⎞∇τ+=−⎜+⎟xy⎜⎟1+ν∂x∂y⎝∂x∂y⎠体力为常量时，贝尔特拉米-米歇尔方程可简化为2221∂Θ21∂Θ∇σ+=0,∇τ+=0x2yz1+ν∂x1+ν∂y∂z2221∂Θ21∂Θ∇σ+=0,∇τ+=0y2xz1+ν∂y1+ν∂x∂z2221∂Θ21∂Θ∇σ+=0,∇τ+=0z2xy1+ν∂z1+ν∂x∂y1或σij.kk+σkk,ij=01+ν体力为常量时，可
8、证明222222∇∇u=,0∇∇v=,0∇∇w=02222∇∇σ=,0∇∇τ=0xyz2222表明：体积力为常∇∇σ=,0∇∇τ=0yzx量时，应力分量、2222应变分量和位移分∇∇σ=,0∇∇τ=0zxy量均满足双调和方2222∇∇ε=,0∇∇γ=0程，也就是说，应xyz力分量、应变分量2222∇∇ε=,0∇∇γ=0yzx和位移分量均为双2222调和函数。∇∇ε=,0∇∇γ=0zxy§5-3弹性力学的一般原理1.叠加原理在小变形线弹性情况下，作用在物体上的几组荷载产生的总效应（应
