随机过程第六章课件.ppt

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1、第十章高斯过程【10.1】多元正态分布随机变量【10.2】独立性问题【10.3】线性变换【10.5】窄带平稳实高斯随机过程【10.4】高斯随机过程【10.6】正弦波和窄带平稳实高斯过程之和10.1多元正态分布随机变量【一】一元正态分布的概率密度和特征函数:如果随机变量是正态分布的，其均值为0，方差为1，则它的概率密度表示式为：它相应的特征函数表示式为称它为标准化的正态分布，可用表示之。如果随机变量是正态分布的，均值为，方差为，则它的概率密度表示式为它相应的特征函数表示式为可用表示它。10.1多元正态分布随机变量【二】二元正态分布的概率密度和特征函数:设有标准化二元正态分布的随机变量，均值为

2、，协方差矩阵为其中代表和的相关系数，，则它的二元概率密度表示式为它相应的特征函数为10.1多元正态分布随机变量【二】二元正态分布的概率密度和特征函数:设有标准化二元正态分布的随机变量，均值为，协方差矩阵为其中代表和的相关系数，，则它的二元概率密度表示式为它相应的特征函数为10.1多元正态分布随机变量【三】元正态分布的概率密度和特征函数:元随机变量用随机列矢量表示，其均值为即记，它代表间的协方差。于是得协方差矩阵协方差矩阵是对称矩阵，并且具有非负定性。10.1多元正态分布随机变量【三】元正态分布的概率密度和特征函数:若元随机变量是正态分布的随机变量，其均值为实值列矢量，如果它的协方差矩阵是正

3、定矩阵，则其概率密度的表示式为式中代表的转置矩阵。元正态分布可用表示。元正态分布的特征函数为上面讨论中假定了是正定对称矩阵，否则上面概率密度的定义没有意义，因此，上面只是对正定对称矩阵的场合定义了多元正态分布。对一般非负定对称矩阵的场合也可由上式特征函数定义出发定义多元正态分布，在此不再讨论。10.1多元正态分布随机变量【四】多元正态分布的边际分布:设为元正态分布的随机矢量，则的任何一个子矢量也服从正态分布。因为的特征函数为在这个特征函数中除了外令其他所有的为零，即得到的特征函数其中，为保留的第行及列所得的矩阵。上式说明了多元分布的边际分布仍是正态分布，其分布为。因此，服从一元正态分布。1

4、0.1多元正态分布随机变量【五】利用特征函数计算各种特征数字:所以元正态分布完全由它的一阶矩和二阶矩所确定。如果存在，则10.2独立性问题【定理一】元正态分布的随机变量相互统计独立的充要条件是它们两两不相关。【证明】必要性。如果为个相互统计独立的正态分布的随机变量，则其联合密度为其特征函数为对比（16）式和（19）式可知，若相互统计独立，则其协方差矩阵，即当时，是互不相关的。10.2独立性问题【证明续】充分性。如果元正态分布的随机变量两两不相关，则其特征函数为其中是一元正态分布的特征函数，根据可知是相互统计独立的。10.2独立性问题【定理二】若为正态分布的随机矢量。是的两个子矢量，即，记其

5、中分别是的协方差矩阵，是由及的相应分量的协方差构成的互协方差矩阵，，则与相互统计独立的充要条件是。【证明】必要性。如果与相互统计独立，则的任何一个分量与的任何一个分量统计独立，因此其协方差为0，从而由它们构成的互协方差矩阵，10.2独立性问题【证明续】充分性。当时，，此时的矩阵为，若其中与的维数相同，与的维数相同，则若记，其中是的数学期望，是的数学期望，则10.2独立性问题【证明续】充分性。因此其中代表子矢量的特征函数，代表子矢量的特征函数。根据特征函数的性质可知和是相互统计独立的。10.3线性变换【性质一】若的各分量的线性组合为其中，则的数学期望为的方差为若是维随机矢量，其数学期望为，协

6、方差矩阵为，现要研究服从正态分布的随机矢量在线性变换下的一些性质。10.3线性变换【性质二】若是一矩阵，而是的列矩阵，它是经过线性变换后得到的元的随机矢量，则的数学期望为的协方差矩阵为10.3线性变换【定理一】服从元正态分布的充要条件是它的任何一个线性组合服从一元正态分布【证明】必要性：若服从，则它的特征函数为设，为任意实数，则所以且该式对任意实数都成立，这说明随机变量服从10.3线性变换【证明续】充分性：因，而为一元正态分布随机变量，它服从分布，因此的特征函数为取，则由于，而的取值是任意的，由元正态分布的定义可知，服从分布。利用本定理可通过一元随机变量的分布是正态分布来确定元随机矢量也服

7、从正态分布。这一方法是十分有用的。