《数学随机过程》PPT课件

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1、3.1引言☞数学分析:为研究提供数学框架与几何直观解释☞随机分析：用数学分析中的有关方法分析二阶矩过程。随机过程：{X(t,ω),tT}的一个样本函数(实现、轨道)X(t)是一个以t(T)为自变量的随机函数。距离极限连续导数积分空间第三章随机分析1二阶矩过程定义☞定义1:设X(t)={X(t,),t∈T}为一个随机过程，若t∈T，其均值EX(t)和方差DX(t)都存在，则称X(t)为二阶矩过程(secondorderprocess)，亦称有限方差过程(finitevarianceprocess

2、)。3.2二阶矩过程定义及其性质☞约定1：设X(t)={X(t,),t∈T}是二阶矩过程，则E[X(t)]=0∵E[X(t)]=μX(t)—关于自变量t的确定函数，定义Y(t)=X(t)-μX(t)，则E[Y(t)]=0。而Y(t)与X(t)的方差、自协方差函数、自相关函数等数字特征是相同的。∴为了便于分析讨论，约定E[X(t)]=0.☞约定2：{Xn,n1}以概率1收敛于XXn=X.或几乎处处收敛到X.3.2二阶矩过程定义及其性质2二阶矩过程的基本性质☞定理1:设X(t)={X(t,),t∈

3、T}为一个二阶矩过程，则其自协方差函数总是存在的。证明：t1,t2∈T,X(t)的自协方差函数为所以CXX(t1,t2)=cov{X(t1),X(t2)}<+∞3.2二阶矩过程定义及其性质思路：自协方差函数为有限值。☞定理2:设X(t)={X(t,),t∈T}为一个二阶矩过程，则其自相关函数总是存在的。即t1,t2∈T,X(t)的自相关函数☞定理3:设X(t)={X(t,),t∈T}为一个二阶矩过程，其自相关函数为RXX(t1,t2)，则特别：若X(t)={X(t,),t∈T}为一个实二阶矩

4、过程，则3.2二阶矩过程定义及其性质☞定理4:设X(t)={X(t,),t∈T}为一个二阶矩过程，则其自相关函数为RXX(t1,t2)具有非负定性，即3.2二阶矩过程定义及其性质☞数学分析：给定空间定义距离极限连续性、导数、积分为研究提供数学框架与几何直观解释。☞随机分析：确定空间定义随机变量的“距离”随机变量极限随机变量连续性、导数、积分空间距离均方极限均方连续均方导数均方积分HH3.3随机分析初步1H空间与均方极限1.1H空间☞定义1：设定义在概率空间(Ω,F,P)上具有二阶矩的随机

5、变量全体记作H={X:E[X]<+∞}称集合{X:E[X]<+∞}为二阶矩随机变量空间，简称为二阶矩空间(secondorderspace)或H空间.3.3随机分析初步附注A—关于线性空间概念的回顾设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设(a)在V中定义加法：,V:+V;(b)在V中定义数乘：V,kK:k·V;且,,V,k,lK,满足(1)k,lK,,V:(2)+(+)=(+)+;(3)+=+;(4)0V,V:+0=

6、;(5)V,V:+=0(6)1K:1·=;(7)k,lK,V:(kl)·=k·(l);(8)k,lK,V:(k+l)=k+l;(9)kK,,V:k(+)=k+k.则称V是数域K上的一个线性空间。3.3随机分析初步☞定理1H空间是线性空间。即(1)α1X1+α2X2∈HXi∈H,αi=const∈R(C)(i=1,2).因为Schwarz不等式（EXY)2<=EX2EY23.3随机分析初步(2)(X1+X2)+X3=X1+(X

7、2+X3)Xi∈H(i=1,2,3);(3)X1+X2=X2+X1Xi∈H(i=1,2);(4)0H:X+0=XX∈H;(5)-XH:X+(-X)=0X∈H;(6)1·X=X1K:(7)(α1α2)·X=α1·(α2X)αi=const∈R(C),XH:(8)(α1+α2)X=α1X+α2Xαi=const∈R(C),XH;(9)α(X1+X2)=αX1+αX2αi=const∈R(C),XH:.3.3随机分析初步附注B—关于内积空间概念的回顾设V是定义在复数域C上

8、的线性空间，若,V，在V中定义与的内积(数量积)，记作(,),且满足：则称V是一内积空间。特别若数域K为实数域，则称V为欧几里得空间。“定义了内积的线性空间称为内积空间”3.3随机分析初步☞定义2设X,Y∈H,定义,并称(X,Y)为H空间的内积。☞定理2则H空间是一个内积空间。证明：3.3随机分析初步证明(续)3.3随机分析初步☞特别设X,Y∈H,若(X,Y)=0，则称X与Y正交，记为XY同时根据约定1：E[X(t)]=0，E[Y(