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1、平稳随机过程硕士研究生学位课程《应用数学基础》(Stationarystochasticprocess)(演示文稿)主讲教师段禅伦2008年秋季学期平稳随机过程硕士研究生学位课程《应用数学基础》(Stationarystochasticprocess)(演示文稿)主讲教师段禅伦2008年秋季学期第六章平稳随机过程6.1平稳过程的概念与例相关理论与平稳过程在第二章的2.4节中曾经讨论过严平稳过程和宽平稳过程的概念.其实,在自然科学以及工程技术中,会经常遇到这类过程.如纺织过程中棉纱横截面积的变化,导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动,军舰在海浪中
2、的颠簸及通信中的干扰噪声等它们都可以用平稳过程描述.这类过程一方面受随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特性是:当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改平稳过程的概念与例变.严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数所决定的,在应用中比较难以确定;宽平稳过程的判别只涉及一、二阶矩的确定,在实际中比较容易获得.因此,我们主要研究宽平稳过程.这种仅研究与过程一、二阶矩有关性质的理论,称相关理论.对于正态过程,宽平稳性与严平稳性是等价的,所以用相关理论研究
3、它,显得特别方便.在后文的讨论中,所涉及的主要是宽平稳过程,我们简称之为平稳过程.例6.1设(Xn,n=0,±1,±2,…}是互不相关的实随机变量序列,且E[Xn]=0,D[Xn]=σ2.试讨论随机序列的平稳性.平稳过程的概念与例解:因为E[Xn]=0及RX(n,n-τ)=E[XnXn-τ]=其中τ为整数,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与τ有关,因此它是平稳随机序列.在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动,通信设备中电流或电压的波动等.这是一种较简单的随机干扰的数学模型.例6.2设(Zn,n
4、=0,±1,±2,…)为复随机序列,且E[Zn]=0,E[ZnZm]=σ2δnm,σn2＜∞,ωn(n=0,±1,±2,…)为实数序列.对于每一个t,可以明级数Zn在均方意义(见6.3节)下收敛.令σ2,τ=0,0,τ≠0.平稳过程的概念与例X(t)=Zn.利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得E[X(t)]=E[Zn]=0,E[X(t)X(t-τ)]=E[ZnZm]==E[
5、Zn
6、].物理上,cos(ωt),sin(ωt)或都是描述简谐振动的,Uncos(ωnt),Vnsin(ωnt)或都可以看作是具有随机振幅的简谐振动.上述例题说明,若不同频
7、率的随平稳过程的概念与例机振幅互不相关,则这种简谐振动的有限项甚至无限项的叠加(只要它是均方收敛的)都是平稳过程,而且它们的相关函数亦有类似的分解,即可以表示为与随机振动具有相同频率成分的简谐振动之和,其振幅为相应的随机振幅的方差.例6.3设随机过程{N(t),t≥0}是具有参数λ的泊松过程,随机过程{X(t),t≥0}定义为:若随机点在[0,t]内出现偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则X(t)=-1,如图所示.(1)讨论随机过程X(t)的平稳性;(2)设随机变量V具有概率分布:P(V=-1}=P{V=1)=1/2.x(t)
8、to1-1平稳过程的概念与例且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的平稳性.解:(1)由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在[0,t]内随机点出现k次的概率Pk(t)=e-λt,k=0,1,2,…故P{X(t)=1}=P0(t)+P2(t)+P4(t)+…=e-λt[1+++…]=e-λtch(λt),P{X(t)=-1}=P1(t)+P3(t)+P5(t)+…=e-λt[λt+++…]平稳过程的概念与例=e-λtsh(λt),于是mX(t)=E[X(t)]=1·e-λtch(λt)-1·e-λtsh(λt)=
9、e-λt[ch(λt)-sh(λt)]=e-λt·e-λt=e-2λt.为了求X(t)的相关函数,先求X(t1),X(t2)的联合分布:P{X(t1)=x1,X(t2)=x2}=P{X(t2)=x2
10、X(t1)=x1}P{X(t1)=x1},其中xi=-1或1(i=1,2).由上式知,需求P{X(t1)=x1}和P{X(t2)=x2
11、X(t1)=x1}.设t2＞t1,令τ=t2-t1,因为事件P{X(t1)=1,X(t2)=1}等价于事件{X(t1)=1,且在(t1,t2]内随机点出现偶数次}.平稳过程的概念与例由假设知,在X(t1)=1的条件下
12、,在区间(t1,t2]内随机点出现偶数次,与在区间(0,τ]内随机点出现偶数次的概率相等,故P{X(t2)=1
13、X(t1)=1}=e-λ
