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1、11.3角平分线的性质（1）一、教学目标：1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理．2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理3.能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定理及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力.4.能运用角的平分线性质定理理解决简单的几何问题.二、教学重点、难点：1.教学重点：掌握角的平分线的性质定理.2.教学难点：角平分线定理的应用1,如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说
2、明它的道理吗?ADBCE一：想一想证明：在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE2,根据角平分仪的制作原理,你能得到作已知角的平分线的方法吗？（不用角平分仪或量角器）OABCENOMCENM已知：∠ＡＯＢ求作：∠ＡＯＢ的角平分线OC.在△OMC和△ONC中OM=ONMC=NCOC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠ＡＯＢ的角平分线.1,以O为圆心
3、,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N。2,分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。3,作射线OC，射线OC即为所求。作法：ABOCNM证明:连结MC,NC由作法知:二：试一试温馨提示:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!探究角平分线的性质(1)实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分线OP,过P作PD⊥OA,PE⊥OB问题：①比较PD和PE的大小关系（量一量）。PD=PE②再换一个新的位置看看情况会怎样？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.PAOBCED证明：∵OC平分
4、∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE(3)验证猜想角平分线的性质BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。PD⊥OA，PE
5、⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符号表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）解决问题S公路铁路DCs公路铁路O解：设OD=Xm则由题得=解得x=0.025m即OD=2.5cm作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求。1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE的长。五：练一练ABCDE解：∵D是∠CAB的角平分线上
6、的一点，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC又∵BC=8，BD=5，∴DE=DC=BC-BD=8-5=3即DE=3。例1，如图△ABC的角平分线BM,CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).ACDEBF分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即
7、Rt△CDF≌Rt△EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！2,已知:如图,△ABC中∠C=90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF.求证：CF=EB证明：∵AD平分∠CABDE⊥AB，BC⊥AC（已知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,DF=DB（已知）CD=DE（已证）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形对应边相等）ACDEBF如图：在△ABC中，BC⊥
8、AC于C,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDC
