数学物理方法第十一章2012.ppt

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1、第十一章柱函数没有大胆的猜测,就做不出伟大的发现。----牛顿1贝塞耳（1784—1846年）德国天文学家及数学家，出生於德国的，是第一个精确测定恆星距离的人。他建立了一个一致的方法来计算恆星的位置。在1821到1833年期间，他準确地测定了多颗恆星的位置，其中包括九等的暗星。另外，贝塞耳以视差法测量「天鹅座61」(61)的距离时，亦给与「日心说」最终肯定。2柱坐标下拉普拉斯方程λ=m2m阶虚宗量贝塞尔方程m阶贝塞尔方程3球坐标下亥姆霍兹方程连带勒让德方程球函数方程xyzrl阶球贝塞尔方程4贝塞耳方程：虚宗量贝塞耳方程：球贝塞耳方程：（一）三类柱函数(1)阶

2、贝塞耳方程整数阶贝塞耳函数另一个解阶贝塞耳函数通解：11.1三类柱函数5其中Γ-函数定义为它有递推关系：当x为正整数(2)m阶贝塞耳方程求和只能从开始。不再是通解与相互不独立。6诺依曼函数阶贝塞耳方程的通解又可以写作m阶贝塞耳方程的通解写作为整数时0/0型此类解称第一种和第二种汉克尔函数贝塞耳方程的通解引入与前述二类贝塞耳方程解之间线性独立新解:7（二）x~0和x~∞渐近行为在研究圆柱内部问题时,“解在圆柱轴上(ρ=0,即x=0)应为有限”这个要求就成为自然的边界条件.按此条件,应舍去诺伊曼函数和负贝塞尔函数,只保留零阶和正阶贝塞尔函数8在研究圆柱外部问题时,

3、两个线性独立特解都要保留.因为它们满足“解在无限远处(ρ～∞0,即x~∞)应为有限”9(三)递推公式10例1求下列微积分诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。基本递推公式1112(一)贝塞尔函数与本征问题拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量，得到了方程（1）对另一本征值μ分三种情况：μ=0,μ>0和μ<0讨论：（１）．方程（1）的解为:（２）．作代换，则得到11.2贝塞耳方程根据圆柱的周期性边界条件，则方程（1）中的ν=m=0,1,2,3,┄，即得m阶贝塞尔方程13（2）即为m阶贝塞尔(Bessel)方程．（３）．记，以代入，并作代换则方程化为虚宗量贝塞尔方程(3)

4、其解为虚宗量贝塞尔函数,此类解除x=0处恒不为零,此解无法描述柱面齐次边界条件.14圆柱内贝塞尔方程本征值问题（即本征值的情况）：1.第一类边界条件的贝塞尔方程本征值问题(4)贝塞尔方程(4)的通解为(5)代入边界条件决定本征值及本征函数．因为故又，要，则必须即就是决定本征值的方程.而15若用表征的第个正根，于是本征值(7)就是决定本征值的方程.J0(x)J1(x)J3(x)J2(x)J4(x)零点还可以用下面的公式计算的零点与的零点是彼此相间分布的，即的任意两个相邻零点之间的零点必有且仅有一个16本征值可编成单调递增的序列即(8)本征函数(9)对于每一个本征值

5、有一个相应的本征函数本征函数在有限区间有个零点.172.第二类齐次边界条件这个条件就是（10）即，贝塞尔函数有无穷个零点．在无限区间以表示的第n个正零点，则，即几乎是以为周期的周期函数．18由于μ>0,则本征函数:不过，而本征值(11)其中是的第个零点.的零点在一般的数学用表中并未列出.的特例还是容易得到的：由递推关系得这样，的零点不过就是的零点．19至于m≠0的情况,的零点可以利用递推公式这样的零点可从曲线和的交点得出．对于m≠0的情况,的零点还可以用下面的公式计算：其中20这个条件就是(3)第三类齐次边界条件记并引用（11.1.10）可将上式改写为其中所以本

6、征值是上式的第n个根21（二）正交关系贝塞耳本征问题是施图姆－刘维尔本征值问题的特例,（三）模对应于三种不同的本征函数带权ρ正交三种不同的本征函数，有三种不同的模。或2223B.第二类齐次边界条件：C.第三类齐次边界条件：A.第一类齐次边界条件：由24(四)广义傅立叶－贝塞尔级数按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．定义在区间上的函数可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数其中广义傅氏系数25几个有用的公式：由递推公式傅立叶-贝塞耳积分的情况26例2利用递推公式求积分27例3在区间上，以为基，把函数（常数）展开为傅里叶－贝塞尔

7、级数.解其中系数由第一类边界条件所对应的模公式(11.2.11)给出．本征值而是0阶贝塞尔函数的第个零点.28这样令则故29(五)贝塞尔函数的母函数（生成函数）在内把解析函数注意此处的x为参变数，不是复变数z的实部展开为罗朗级数.30对于固定的z，以上两级数在且可按任意方式并项．称为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．内是可以相乘的，31这公式是函数的傅氏余弦展开式.平面波用柱面波的形式展开当x=kr为实数时，在物理意义上,上式可以理解为用柱面波来表示平面波，并可写为32(六).加法公式利用母函数公式比较两边zm项的系数，即得加法公式33(七)整数阶贝塞尔函数的积

8、分表达式利用母函数公式和