数学物理方法第十三章

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1、第十三章积分变化法在第六章，我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分方程。经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解。积分变换在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。经过变换以后，方程变得简单了，例如偏微分方程变成了常微分方程，解出常微分方程，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变数法不能得到的。本章主要介绍傅里叶变换、拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用。§13.1傅里叶变换法用分离变数法求解有界空间的定解问题时，所得到的

2、本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数。对于无界空间，用分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分。因此，对于无界空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法。本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定解问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式。例1求解无限长弦的自由振动解应用傅里叶变换，即用遍乘方程及定解条件各项。并对空间变数积分（时间变数视作参数）。原来的定解问题变换成其中、分别是、的傅里叶变换。原来的定解问题变成了常微分方程及

3、初值条件，其通解是代入初始条件可定出这样最后，对作逆傅里叶变换。应用延迟定理与积分定理，结果是（13.1.1）这正是达朗贝尔公式（7.4.7）。例2求解无限长细杆的热传导问题解作傅里叶变换，定解问题变换为这个常微分方程的初始值问题的解是再进行傅里叶变换，交换积分次序引用积分公式。置，以利用此积分公式，即得。（13.1.2）例3求解无限长细杆的有源热传导问题解作傅里叶变换，问题变换成非齐次常微分方程与初始条件为求解这个非齐次常微分方程，用遍乘方程各项，得对积分一次，计及零初始值，进行逆傅里叶变换，交换积分次序引用例2的积分公式计算内的积分，最后结

4、果是（13.1.3）例4限定源扩散。半导体扩散工艺的硼、磷扩散是慢扩散，杂质扩散深度远远小于硅片厚度。研究杂质穿过硅片的一面向里扩散问题时，完全可以不管另一面的存在，把硅片看作无限厚，虽然实际上还不到一毫米厚。这就是说，把硅片的内部当作半无界空间。在限定源扩散中，是只让硅片表层已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入硅片。这里，所求解的是半无界空间中的定解问题其中是每单位面积硅片表层原有的杂质总量。解没有杂质穿过硅片表面即是第二类齐次边界条件。读者已经熟悉，这种边界条件意味着偶延拓，即求解无界空间中的定解问题这个初始条件其实也就

5、是。这样，问题成为引用（13.1.2）式，得到答案称为高斯函数，它的数值有表格可查，参看附录三。图13-1描画了杂质浓度在硅片中的分布情况。曲线1对应于某个较早时刻，曲线2、3依次对应于越来越迟的时刻。杂质浓度趋于均匀的趋势很明显。每根曲线下的面积都等于，这反映了杂质总量不变。每根曲线在跟纵轴相交处的切线都是水平的，即硅片表面的浓度梯度为零，这反映了没有新的杂质进入硅片。例5恒定表面浓度扩散。在恒定表面浓度扩散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断穿过硅片表面并向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充分，硅片表面杂质浓度得以保持某个

6、常数。这里，所求解的是半无界空间中的定解问题解首先应把非齐次边界条件化为齐次的。为此，令，就把的定解问题转化为的定解问题这里是第一类齐次边界条件。读者已经熟悉，这种边界条件意味着奇延拓，即求解无界空间中的定解问题引用（13.1.2）式，得到答案在右边第一个积分中令，；在右边第二个积分中令，。于是，由于被积函数是偶函数，所以通常把叫做误差函数，记作，它的数值有表格可查，参看附录三。这样，所求的解。叫做余误差函数（errorfunctioncomplement），记作。这样例6泊松公式。求解三维无界空间中的波动问题解作傅里叶变换，问题变换为常微分方

7、程的初始值问题这个问题的解是再进行逆傅里叶变换，引用§5.3例1结果，应用延迟定理，由于被积公式中出现，对的积分只需在球面上进行，以点（确切的说，径矢为的点）为球心而半径为。（13.1.4）式中是球面的面积元。答案（13.1.4）叫作泊松公式。三维无界空间中的波动，只要知道它的初始状况，用泊松公式可以推算它在以后任一时刻的状况。具体地说，为求时刻在点的，应以点为球心，以为半径作球面，然后拿初始扰动和按（13.1.4）在球面上积分。这是可以理解的，既然波动以速度传播，只有跟点相距的那些点（即上的点）的初始扰动恰好在时刻传到点。为明显起见，设初始扰

8、动只限于区域（图13-3）.取定一点，它与最小距离是，最大距离是。当，跟不相交，按泊松公式，，这表示扰动的前锋尚未到达点。当，跟相交，，这表示扰动已到