北京大学数学物理方法经典课件第十三章——变分法

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1、从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似．第十三章变分法如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用微扰法求近似解．量子力学教科书中一般都要介绍微扰法，限于课时，这里就不再重

2、复介绍．近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等．变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变分问题即是求泛函的极值问题．把定解问题转化为变分问题，再求变分问题的解．变分法的优点:(2)变分法易于实现数学的统一化．因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题．尤其是前面介绍的斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施－刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；(1)变分法在物理上可以归纳定律．因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；(3)变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，其基本思想是把数学物理定

3、解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；(4)变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用．有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解．模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值．变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法，已经广泛应用于科学研究和工程计算之中

4、，限于篇幅故本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论．13.1变分法的基本概念定义：变分法变分问题变分法就是求泛函极值的方法．变分问题即是求泛函的极值问题．一、泛函变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．为了说明泛函概念先看一个例题：考虑著名的最速降线落径问题。如图13.1所示，已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T最小．图13.1我们知道，此时质点的速度是因此从A滑到B所需的时间为即为（13.1.1）式中代表对求一阶导数．我们称上述的为的泛函

5、，而称为可取的函数类，为泛函的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数的那种含义）．一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合，如果对于C的任一元素在B中都有一个元素与之对应，则称为的泛函，记为必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数（即从A到B的不同曲线）值，也不取决所引起的．它的值既不取决于某一个本身的变化于某一个值，而是取决于整个集合C中与的函数关系．定义：泛函泛函的核泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线落径问题的式（13

6、.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为(13.1.2)其中称为泛函的核．二、泛函的极值――变分法对于不同的自变量函数，与此相应的泛函也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数，使泛函具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为泛函的极值．引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函的极小值问题．物理学中常见的有光学中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题．即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题转化为求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分．三、变分定义：变分如果

7、我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为并定义与函数曲线邻近的曲线（或略为变形的定义：变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法．研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法，曲线）作为比较曲线，记为其中是一个小参数；是一个具有二阶导数的任意选定函数，规定它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将固定，而令变化，这样规定的好处在于：建立了由参数到泛函值之间的对应关系，因此泛函就成为了参数的普通函数．原来泛函的极值问题就成为普通函数对的求极值的问题．同时，函数曲线的变分定义为(13.1.3)因此可得(13.1.4

8、)这里代表对求一阶导数．所以(13.1.5)即变分和微分可以交换次序．(13.1.6)在极值曲