数学物理方法 第十一章

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1、在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.--毕达哥拉斯第十一章柱函数1复习：拉普拉斯方程分离变数结果球坐标系柱坐标系l-阶连带勒让德方程m-阶贝赛尔方程m-阶虚宗量贝赛尔方程2贝塞耳方程：虚宗量贝塞耳方程：球贝塞耳方程：（一）三类柱函数(1)阶贝塞耳方程整数阶贝塞耳函数另一个解阶贝塞耳函数通解：11.1三类柱函数3其中Γ-函数定义为它有递推关系：当x为正整数(2)m阶贝塞耳方程求和只能从开始。不再是通解与相互不独立。4诺依曼函数阶贝塞耳方程的通解又可以写作m阶贝塞耳方程的通解只能写作为整数时0/0型第一种和第二种汉克尔函数贝塞耳方程的通解第一类柱函数：贝塞耳函数第二类柱

2、函数：诺依曼函数第三类柱函数：汉克尔函数5图（二）渐进行为0内解问题：只要零阶和正阶贝塞尔函数研究圆柱外部问题：两个线性独立特解都要保留67贝塞尔函数的图象8诺伊曼函数的图象（三）递推公式诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。写作基本递推公式推论一推论二9虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程定义：通解：10m阶虚宗量贝塞耳方程另一个独立解需要另外研究（含有对数项）图对于圆柱内部问题，如果柱侧有齐次边界条件，则<0应排除1111.2贝塞耳方程柱坐标系下的解m-阶贝赛尔方程m-阶虚宗量贝赛尔方程拉普拉斯方程12柱面上的齐次边界条件（一）本征值问题A.柱面的第一类齐次边界条件：仅有贝塞耳函数具有这种

3、性质（m已定）对于确定的m，贝塞耳函数有一系列零点：对于不同的n，有或这就是贝塞耳方程(另一种写法)的离散本征值13B.第二类齐次边界条件：仅有贝塞耳函数具有这种性质，两个零点之间必有极值。同样，为贝塞耳函数的导数的零点序列，本征值为m=0的情况:即：C.第三类齐次边界条件：将是上述方程的解。14（二）正交关系贝塞耳方程(施图姆－刘维尔本征值方程)：正交关系（三）模对三个不同的本征值序列成立三个不同的本征值序列，有三个不同的模。或同一个方程的三个不同的施图姆－刘维尔本征值问题。权重15A.第一类齐次边界条件：由16B.第二类齐次边界条件：C.第三类齐次边界条件：（四）广义傅立叶级数指定的m，次

4、序由n给出。权重17几个有用的公式：由递推公式傅立叶-贝塞耳积分的情况18例1利用递推公式求积分例2方程指定了为第一类边界条件19或者单位1例4轴对称1.2.定解问题侧面绝热有限值2021例5方程如P.179，习题5（圆锥改为方锥）1.分离变量2.贝塞耳方程零阶贝塞耳方程解为的第一个零点为223.初始条件定解23例6轴对称热传导问题绝热有限值先将边界条件化为齐次，令有限值边界条件全是齐次的查9.1节表满足边界条件的解24亥姆霍兹方程输运方程球坐标系柱坐标系:l-阶连带勒让德方程:m-阶贝赛尔方程但:l阶球贝赛尔方程(k0)则但则25本征值26母函数3.5例5：在原点邻域上把展开绝对收敛正幂项

5、负幂项取取27积分表示与加法公式28诺依曼函数例7空心园长柱体，热传导问题边界条件齐次化，令代入边界条件非零解本征值本征函数(完备)29例8声波发射问题：长园柱面，径向速度分布求声振动的速度势汉克尔函数波动方程在柱坐标系中分离变数形式的解柱函数向外发散的波向内会聚的波查表且柱函数应取只取唯一值，无需叠加30若即P347,习题153111.4虚宗量贝塞耳方程上下底齐次边界条件拉普拉斯方程如果所研究区域包含圆柱轴只用如果所研究区域伸向无限远只用32例1，求柱内稳定温度分布边界条件齐次化对于本征值对于与上下底边界不相容，舍去33例3，求柱壳外的静电势令对于舍去对于本征值34P362，习题4（P346

6、，习题6）有限1.2.舍去35有限有限对于对于本征函数3611.5球贝塞耳方程球坐标系亥姆霍兹方程分离变量l阶球贝塞耳方程（施图姆－刘维尔型）阶贝塞耳方程l阶球贝塞耳方程的两个线性独立解（下列五种任取两种）球贝塞耳函数球诺依曼函数球汉克尔函数37递推关系，渐近公式球形区域内的本征值问题38例1：求球内温度的变化令与无关与无关:l-阶连带勒让德方程:l阶球贝赛尔方程(k0)查表（球坐标系下输运方程）常数，不满足边界条件，舍去本征值39初始条件按球贝赛尔函数展开40