【精品】第十一章数学思想方法指导

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1、第十一章数学思想方法指导§11.7*级数思想方法选讲§11.7.1级数理论概说级数理论是数学分析（微积分）的重要组成部分之一，是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发挥着重要的作用.回忆我们学过的数学运算方法知道，初等函数的有限次四则运算（加、减、乘、除、乘方、开方）和复合，所得结果是初等函数；初等函数的导数（经微分运算所得函数）一般仍然是初等函数；我们在建立定积分概念的同时，利用变上限积分却可以定义出非初等函数，即初等函数的不定积分可以不是初等

2、函数，例如f/d/就不是初等函数；而利用级数运算，可以产生更多的非初等函数，即许多收敛的函数项级数的和函数都是非初等函数，即使它的每一个项都是初等函数也是如此.即无限个初等函数的和通帘不是初等函数.一般说來，一个函数项级数的敛散性较易判别，但写出它的和函数却是困难的.虽然产牛新函数是级数理论的一个重要作用，不过级数理论的更重耍的作用是给出了研究这些函数的有效方法；而且，即使是初等函数，给出了它们的级数形式，有时也更便于研究它们的性质.木书主要举例和研究的对象也是这些函数.第三章我们学习的泰勒公式是用多项式来近

3、似表示函数，它对于研究函数的局部逼近（在某个点的邻域）和整体逼近（在定义域）有着重要意义；但若能把函数展开成幕级数，即表示成无穷多个多项式（幕函数）的和，就可以在收敛域逐项微分积分，这对于函数性质的研究和计算有很重要的作用.当然，函数要能展开成幕级数，必需具有任意阶的导数；对于一些性质较差的函数（如分段连续函数），就不能展开成幕级数，这时，却可以展开为傅立叶级数，并利用傅立叶级数研究它的性质.级数理论的基础仍然是极限，它的笫一个重要概念是收敛性.级数求和是一个无限求和的过程，与有限和运算有许多不同之处，关键是

4、加入了极限运算，所以形成了一系列独特的运算性质；也就是说，只有在特定条件下（如绝对收敛），级数求和才具有与有限和一样的性质.（参阅下面§11.7.4）.在函数项级数的研究中，人们需耍研究它的分析性质，如收敛级数的和函数是否连续，可积，可微，是否可逐项积分.因为级数的和函数及微分，积分等概念都建立在极限概念的基础上，因此需耍考虑二重极限及这两次极限是否可以交换的问题.这种研究反过来进一步促进了极限理论的发展.例如，人们根据需要发展了点点收敛的概念，引进并研究一种新的重要的概念——一致收敛，它是函数项级数得以保证

5、和函数连续、可积、可微和级数得以逐项积分微分的一个重要条件.(参见卜面§11.7.3)§11.7.2数列与常数项级数的关系数列｛〃“｝逐项累加起來的式了£冷=妁+血+...+妬+…称为级数，或者说，n=l是数列仏｝逐项累加的极限形式称为级数若把常数列仏｝的前项部分和记作S”=£畋，则当逐项累加的极限limS〃存在时，则称级数收敛;否则，称Z为发散.这就是说，级数的敛散性是由部分和序列⑸｝的敛散性來定义的，因此级数的一般理论是建立在数列极限理论的基础上的.而R由于级数是在有限相加的和S”构成序列｛S“｝上施行极

6、限运算拼进佝定义了无限和的概念，因此级数求和它有着比数列求极限更独特的性质和意义.下而说明数列与常数项级数的一些具体的关系.(i)数列仏｝收敛时，级数未必收敛；也就是说，级数£知发散时,n=l?i=l数列｛妬｝未必发散.例如，数列｛空二1｝收敛于2,数列｛丄｝收敛于0,但是分別以它们为通项的nn级数£岀二和£丄都是发散的.8(ii)级数工知收敛时，数列仏｝必收敛，J=Llimun=0.?I=1这个结论通常称为“级数收敛的必要条件”，其逆否命题“若｛妬｝不收敛于0则级数发散”是判别级数发散的最直接方法.只是适用

7、范围有限而已.此外，命题(ii)也导出求数列极限的一种方法.例1求lim警.nT8解考虑级数工斗.利用比值得审敛法(见§10.2)，由/:=!几lim“T8=limHT8rin=lim2-HT8知所考虑的级数收敛从而其通项收敛于0,即lim二占=0."Toon(i)数列仏｝与级数具有相同的敛散性.n=l证明这个命题是容易的，因为这个级数的前斤项和序列就是｛妬+厂如｝,它与仪”｝貝-有相同的敛散性.这个命题也提供了借助丁•级数来判别数列｛"”｝敛散的一种方法.例2证明数列｛妬匸｛Inn-1-丄-…-丄｝收敛.2

8、n证只要证明级数£(知+1=£[ln(z?+1)-In7?]=^[ln~—1铝n=l巾+1n=ln+收敛即nJ.因为丄vln(l+丄)v丄，所以该级数为正项级数.由于n+1nn…(111110