【精品】第三章数学思想方法指导

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1、第三章数学思想方法指导*§3.8微分中值定理与导数应用的思想方法选讲§3.8.1一般化与特殊化在§3.1.2介绍拉格朗日(Lagnmge)中值定理时,我们简要提及一般化与特殊化方法对发现新定理和证明新定理过程屮的作用.实际上，一般化与特殊化是数学研究中最通用的思想方法乙一，它不仅是论证的基木方法，也是发现和应用过程中经常采用的重耍方法.因此，我们有必要进一步加深认识.苦名的数学教育家波利亚在《数学与猜想》中指出：“像一般化、特殊化和作类比这样-些基本的思考过程，不论在初等数学、高等数学中的发现，或者在任何别的学科中的发现，恐怕

2、都不能没有这些思考过程.”一般化与特殊化是用辨证的观点來观察和处理问题的两个思维方向相反的思想方法.1.一般化思想与方法-般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含该较小集合的更大集合的思想方法.一般化思想在数学上的应用大致可从四个不同层次或范围來体现.(A)在人范围上，从整体看，每个数学理论及其应用的主要发展方向之一是其适用范围的扩大.通常，通过数学模式的抽象化层次不断提高和寻求在更大范围内的新的统一性來实现这种可能性，抽象法、概括法、归纳与类比、联想方法都是实现-•般化的具

3、体措施.因此，一般化是数学创造的基木思想.(B)在小范围内，就某个具体数学分支的某些具体问题，通过削弱充分条件来推广一个或一组命题，并使其结论的基本特征不变(通常限制在原来条件H山新命题仍能推出原结论成立)，即一般化思想指导人们将一•个或一组数学命题的条件从各个方面加以推广.这种方法对于活跃思维、激发兴趣，加强对数学知识的理解与掌握很何好处，这也是是数学研究的一种重要形式，数学发现的一个重要手段.例如，在平而几何中，我们从三角形开始进而研究任意多边形的性质，如从—个三和形的三个内角和180°出发进而获知〃边形的〃个内角和为(h

4、-2)180°.在§3.1,拉格朗日定理把洛尔定理的笫三个条件/(«)=/0)舍去，得到的结论改为：则在(a,历上至少存在一点g使得止(3.8.1)b-a这个结论在形式上发生了变化，但当f(b)=f(a)吋仍然得到ffy=0,即罗尔定理的结论.这说明拉格朗F1定理的条件比罗尔定理更一般，而且当罗尔定理条件成立时，由拉格朗FI的定理也可以得到罗尔定理的结论.这就是一个实质的一般化推广.而后，柯西中值定理的条件形式上比前两个定理都复杂，与拉格朗LI定理比,增加了一个函数g,除了耍求g®同样具有连续、可导性外，还要求/(兀)在(a,

5、b)上不为0,以保证(3.1.6)式左右两边的分母不为0；此外，结论也较复杂了.实际上，柯西看岀了(381),即(3.1.2)式中一个隐含的条件，即g(x)=x的情况，并把g(x)=x这样的特殊情况推广为较一般的、如定理条件所描述的函数.因此，实际上定理的条件是削弱的.所以，柯西定理包含了拉格朗口中值定理，是拉格朗日定理的一般化.(A)通过类比与联想來把某一个范围内成立的数学命题与理论移植到另一个范围上去，并加以发展和提高.(B)在具体解题屮，采用所谓一般化方法或把一般化方法与特殊化方法结合使用，常可取得出奇的效果.1.特殊化

6、思想方法杰岀的数学家希尔伯特指出：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一•般化起着更为重要的作川.町能在人多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，即有一些更简单、更容易的问题没有解决，或者没冇完全解决.这一切都冇赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是克服数学困难的最重要杠杆Z■特殊化方法不论在科学研究,还是在数学教学屮,都具有十分重要的作用.特殊化通常指通过对所考虑的问题的特殊例了的研究，求得该问题的解决,或为该问题的绘终解决提供关键信息的思想方法G.

7、波利亚在《数学为猜想》一书中指111："特殊化是从考虑对彖的一个给定集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个対象.例如我们从多边形转而特别考虑正n边形，我们还可以从正n边形转而特别考虑等边三角形特殊化是以研究对象的一般性为基础，从而肯定个别对象具冇个别属性.显然，仅就一般问题的特例进行验证或计算，并不能解决该一般问题.但是,当面对复杂问题而无从着手时，不妨先采取“随意特殊化”的方法，通过研究较为简单的特例，可使我们对一般问题有个初步了解，获得对其屮有关概念的认识,从屮获得某些启示，如能因此获得解决问题的思路，当然最好；

8、如尚未达到此地步，也可能为更进一步的特殊化探讨提出方案.例如，在用数学归纳法证明命题吋，人们常在验证n=1吋命题成立后，再验证n=2甚至八=3吋的情况.这样做的11的在于了解“由n=1吋命题成立如何去推导h=2吋命题成立（相应地，n=3时命题成立）”.这往往能对于“山假设〃=