资源描述：
《第十一章无穷级数学习指导(推荐）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十一章无穷级数学习指导重点：数项级数、函数项级数的基本概念和基本性质，数项级数收敛性、函数项级数收敛域的讨论，函数的幕级数展开及其应用难点：数项级数收敛性的判断，函数项级数收敛域的讨论、一致收敛性的判断，将函数展开为幕级数，求函数项级数的和函数，将周期函数展开为傅里叶级数（-）8A1无穷级数是形如£知纫+«2+・・・+知+…的无穷和式，简称级数。其中n=18血称为级数的一般项或通项。若知5=12…）都是数，则称级数工知为n=数项级数；若血二叭（兀）5=1,2,…），都是定义在某个区间Z上的函数,则称级数$X（兀）为
2、函数项级数。n=]008A2级数工知（工知（兀））的前刀项的和：n=ln=lS”=妁+“2+…仏（S」X）=（兀）+比2（兀）+…冷⑴）00称为数项级数（函数项级数）的部分和。对于数项级数工知，若n=lcoco憩州=S（有限值）,则称级数2X收敛，并称S为级数的和，记为知,n=ln= 0吕并称级数乙=工知+,为级数工叫第斤项后的余项。若！型s”不存在，则称级/=1/1=100数工知发散。对于函数项级数，若兀0丘/使函数项级数对应的数项级数n=l收敛（发散），则称兀。为函数项级数的收敛点（发散点）；一切收敛n=（发散
3、）点的集合，叫做函数项级数的收敛（发散）域。在收敛域上，记S（x）=!^SO，称为函数项级数£知00的和函数，并称尺©）二$X+i（x）/:=1/=!8为函数项级数工知（X）的余项。H=1A3数项级数敛散性的判断是本章的重点，容易证明数项级数乞知收敛的n=必要条件是级数的通项知满足lim知=0,因此若通项不趋于零，则级数n—>00必发散。除了定义，以下基本性质也有助于我们判别数项级数的敛散性。(1)若£血收敛'则叫亦收敛，且£%二叫；m=1n==ln=l00CO00(2)若工知与均收敛，则工仏±叮亦收敛，且n=l
4、?:=1n= 00000£（知±匕）二£如±£叫；;/=1川=1n=l(3)在级数前面添加或去掉有限项后所得的级数与原级数的敛散性相同；(4)收敛级数的各项按规则加括号后所得的级数仍然收敛O按某规则加括号后所得的级数发散，则原级数发散；(5)柯西收敛原则。A4以下儿个重要的数项级数，其敛散性已经明确：00（1）等比级数W当
5、q
6、vl时收敛，当
7、q
8、ni时发散；n=loo1（2）调和级数为丄发散；001（3）p-级数乞丄（^>0）,当OvpSl时发散；卩>1时收敛;n=ln（4）倒阶乘级数Y丄收敛.A5函数项级数收敛域
9、的讨论也是本章的重点之一。本章我们着重研究两种函数项级数：幕级数和傅里叶级数。幕级数是形如tan（x-xQy的级数。/:=0幕级数的收敛域，除端点外是关于心对称的区间（x0-7?,x0+7?）,两端点处是否收敛需单独检验，其中/?称为收敛半径。幕级数我们着重讨论“=0的情况，即级数因为幕级数一般形式可以通过变量替换n=0/«=0X=x-x0化为YaflX,lo此级数收敛区间的求法为：先求=p,则收敛粽5
10、半径/?二丄；再检验两端点处是否收敛，从而收敛域=（x（）-/?,x°+/?）u收敛P的端点。A6掌握函数项级数一致
11、收敛的定义及其判别方法，最常用的方法是维尔斯008特拉斯判别法：设函数项级数£知（兀）定义在数集d上，£匕是收敛的正/:=1;/=1000000项级数，若对一切有，则工知（兀）一致收敛。其它还有?:=In=ln=阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。一致收敛的函数项级数，逐项微分或逐项积分运算后的函数项级数，其和函数等于原函数项级数和函数的微分或积分。此性质在求函数项级数的和函数及函数的幕级数展开中有着重要应用。（二）bi正项级数就是通项叫no的级数。它是数项级数中比较简单的一类级数，其收敛的充要条件是部分和S”有上界。判断
12、正项级数工知的敛散性，n=l除了上述收敛的充要条件，还有如下常用方法：(1)比较法：00000000若乙5知，而工知收敛，则工乙收敛；若V.>,而工知发散，则工乙n=ln=ln=ln=发散。比较法的极限形式如下：//0000若/(Ov/<+oo),则工知与工乙同吋收敛或同吋发散。vnn=ln= 0在比较法中，正项级数工知的敛散性常借助于一些已知的正项级数的n=l敛散性来判断。如已知丈丄发散，由此推得若｝^nun=l(0
13、"00\mnpun=1(0«xn=x收敛;则£知发散;w=i待定.(2)比值法<1,若lim^=p,当。>1时,U(3)根值法收敛;8则£知发散;心待定.[<1,若lim册7=Q当川>1时,n-xo■=1,co00B2关于幕级数的代数运算，设工％*与工仇*的收敛半径分別为/?和/:=0n
