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《第十一章 无穷级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第十一章无穷级数一、常数项级数1.基本概念（1）无穷级数的定义：（2）级数的收敛与发散如果，则称无穷级数收敛,叫做级数的和，且；如果没有极限，则称无穷级数发散.（3）性质性质1线性性质：设级数，，为常数，则.性质2（级数收敛的必要条件）级数收敛如果级数的一般项不趋于零,则级数发散。（4）柯西审敛原理级数收敛对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，对任意的自然数，有成立（5）几个典型常数项级数的敛散性①等比级数(几何级数)②调和级数：(发散)③P-级数：【例1】判别级数的收敛性，并求级数的和。解：由于，由定义所以
2、原级数收敛，且和为1。【例2】判断级数的敛散性。解：因为而所以，由级数收敛的必要条件，原级数发散。【例3】若，且收敛于，证明级数收敛.解设级数的部分和为，级数的部分和为，因为所以因为，所以，且，从而所以，由级数收敛的定义知级数收敛.【例4】利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性(1)；(2)解：（1）对任意给定的，要使取自然数，当时，对任何自然数有成立，由柯西审敛原理，级数收敛。（2）取，无论n多大，p=3n，有由柯西审敛原理，级数发散。2.常数项级数审敛法(1)常数项级数类型正项级数：交错级数:任意项级数:（2
3、）正项级数及其审敛法①充分条件：正项级数收敛部分和所成的数列有界.②比较审敛法：设和均为正项级数，且,a.若收敛,则收敛；b.若发散，则发散.③极限审敛法：设与都是正项级数，，则a.当时，与具有相同的敛散性；b.当时，若收敛，则收敛；c.当时，若发散，则发散；重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.④等价无穷小法：若（等价无穷小），则与具有相同的敛散性.⑤比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设是正项级数,如果,则时级数收敛;时级数发散;时失效.⑥根值审敛法(柯西判别法)：设是正项级数,如果,则时级数收敛;时级数发
4、散;时失效.（3）交错级数审敛法(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件:①；②,则级数收敛,且其和,其余项的绝对值.（4）任意项级数审敛法绝对收敛：若收敛,则称为绝对收敛;条件收敛：若发散,而收敛,则称为条件收敛.注：若级数发散，不能断定级数也发散，但可利用比值法或根值法进行判断.做法如下：如果或，则发散。由可知，从而，因此，发散。【例5】判定级数的敛散性解当时，，由级数收敛的必要条件知级数发散.当时，，而为公比为的等比级数收敛，由比较审敛法知级数收敛.【例6】判断级数的敛散性。解：此级数为正项级数，，，，收敛，
5、故由比较审敛法，原级数收敛。注：应用比较法判断一个正项级数的敛散性，最关键问题是要熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数，调和级数，级数等),然后根据的特点，进行有针对性的放缩。【例7】判别级数的敛散性。解：因为，所以，分别考虑和的敛散性。对于，由比值法，知收敛，所以，绝对收敛；同理得收敛，可知原级数收敛。【例8】判断级数的敛散性。解：由比值审敛法，当时，原级数收敛；当时，原级数发散。当时，，比值审敛法失效，注意到，，原级数发散。注：在级数一般项中，若含有形如的因子时，适于使用比值审敛法。【例9】判断级数
6、的敛散性。解：此级数为正项级数，故由根值审敛法，原级数收敛。注：在级数一般项中，若含有次方时，适于使用根值审敛法。【例10】判别级数的敛散性。解：原级数为交错级数，先考虑级数的敛散性。由于当时，，而级数发散，由比较审敛法，级数发散，即原级数非绝对收敛。因为，令，因为所以f(x)在内单调递减，得于是由莱布尼兹判别法可得级数收敛，从而原级数条件收敛。注：在运用莱布尼兹定理判别时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。二、函数项级数1．基本概念（1）函数项级数，是定义在上的函数（2）收敛域函数项级数的所有收敛点的全
7、体称为收敛域.（3）和函数在收敛域上,函数项级数的和函数为.函数项级数的部分和且.2.幂级数（1）形式：或（2）幂级数的收敛半径与收敛区间收敛半径：对幂级数，都存在唯一的实数（），当时幂级数绝对收敛，幂级数发散，称为幂级数的收敛半径收敛区间为；幂级数的收敛域，需确定端点的收敛性.（3）收敛定理（阿贝尔(Abel)定理）：如果级数在处收敛，则它在满足不等式的一切处绝对收敛；如果级数在处发散，则它在满足不等式的一切处发散.（4）收敛半径求法定理：幂级数，若（或），则（5）幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法：
8、求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即型、型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。解题方法见流程图。【例1】求下列幂级数的收敛域：(1)(2)(1)解：，，∴当时，级数为，，该级数发散。当时，级数为，该级数收敛。故此幂级数的收敛域为。(2)解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法当，即时，级数收敛,当，即时，级数发散,当时，级数为，为交错级数收敛,当时，级数为，为交错级数收敛,故此幂级数的收敛
