[理学]第十一章无穷级数

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1、教学内容批注第十一章无穷级数§11.1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数:给定一个数列u1,u2,u3,×××,un,×××,则由这数列构成的表达式u1+u2+u3+×××+un+×××叫做（常数项）无穷级数,简称（常数项)级数,记为,即,其中第n项un叫做级数的一般项或通项.级数的部分和:作级数的前n项和称为级数的部分和.级数敛散性定义:如果级数的部分和数列有极限s,即,则称无穷级数收敛,这时极限s叫做这个级数的和,并写成教学内容批注如果没有极限,则称无穷级数发散.余项:当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,它们之间的差值rn=s-sn=un+

2、1+un+2+×××，叫做级数的余项.例1讨论等比级数(几何级数)的敛散性,其中a¹0,q叫做级数的公比.解如果q¹1,则部分和.当

3、q

4、<1时,因为,所以此时级数收敛,其和为.当

5、q

6、>1时,因为,所以此时级数发散.如果

7、q

8、=1,则当q=1时,sn=na®¥,因此级数发散;当q=-1时,级数成为a-a+a-a+×××,因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,教学内容批注所以sn的极限不存在,从而这时级数也发散.综上所述,如果

9、q

10、<1,则级数收敛,其和为;如果

11、q

12、³1,则级数发散.例2证明级数1+2+3+×××+n+×××是发散的.证此级数的部分和为.显然,,因此所给

13、级数是发散的.例3判别无穷级数的收敛性.解由于因此,从而,所以这级数收敛,它的和是1.教学内容批注二、收敛级数的基本性质性质1如果常数,则级数与有相同的敛散性.且若级数收敛于s,则级数收敛于ks.,即=.这是因为,设与的部分和分别为sn与sn,由于，所以可知与有相同的敛散性，这表明级数与有相同的敛散性.且当时，.即级数收敛于ks.性质2如果级数、分别收敛于和s、s,则级数也收敛,且其和为s±s.，即.这是因为,如果、、的部分和分别为sn、sn、tn,则教学内容批注性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的

14、级数仍收敛,且其和不变.应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如,级数（1-1)+（1-1)+×××收敛于零,但级数1-1+1-1+×××却是发散的.推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.级数收敛的必要条件:性质5如果收敛,则.证设级数的部分和为sn,且,则.应注意的问题:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例4证明调和级数是发散的.教学内容批注证假若级数收敛且其和为s,sn是它的部分和.显然有及.于是.但另一方面,,故,矛盾.这矛盾说明级数必定发散.§11.2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数:

15、各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数,且un£vn(n=1,2,×××).若级数收敛,则级数收敛;反之,若级数发散,则级数发散.教学内容批注证设级数收敛于和s,则级数的部分和sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s(n=1,2,×××),即部分和数列{sn}有界,由定理1知级数收敛.反之,设级数发散,则级数必发散.因为若级数收敛,由上已证明的结论,将有级数也收敛,与假设矛盾.注意：由于级数的敛散性与它的前面有限项无关，以及级数的每一项乘以不为零的常数不会影响级

16、数的敛散性，因此，如果存在自然数N,使当n³N时有un£kvn(k>0)成立时，比较申敛法则仍成立.例1讨论p-级数的收敛性.解设p£1.这时,而调和级数发散,由比较审敛法知,当p£1时级数发散.设p>1.因为当时，有，所以，，(n=2,3,×××).p-级数部分和教学内容批注，(n=2,3,×××).这表明有上界，因此级数当p>1时收敛.综上所述,p-级数当p>1时收敛,当p£1时发散.例2证明级数是发散的.证因为,而级数是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3(比较审敛法的极限形式)设和都是正项级数,记,(1)当时，则级数和级数同时收敛或同时发散.(2)当

17、，且级数收敛时,则级数收敛;(2)当,且级数发散,则级数发散.教学内容批注证明（1）由极限的定义可知,对,存在自然数N,当n>N时,有不等式,即,再根据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.（2）例3判别级数的收敛性.解因为,而级数发散,根据比较审敛法的极限形式,级数发散.教学内容批注例4判别级数的收敛性.解因为,而级数收敛,根据比较审敛法的极限形式,级数收敛.定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)设是正项级数且,则（1）当r<1时级数收敛;（2）当r>1(或)时级数发散;（3）当r=1时级数可能收敛也可能发散.例5