第十一章 无穷级数

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1、第十一章无穷级数基本内容 (一)数项级数 1.数项级数的定义设数列则称是数项级数，其中称为一般项．记称之为级数的前n项的部分和。称为级数的部分和序列．若，则称收敛于和S，且记为；若不存在，则称级数发散，的和不存在．2.级数收敛的必要条件若级数收敛，则；这意味着若，则必发散．3.级数的性质设k是非零常数，,(1)(2)(3)在级数前面添（减）有限项，不改变级数的敛散性．(4)收敛级数加括号后仍收敛．*4.柯西收敛定理收敛的充分必要条件是：对任意，存在N，当n>N时，对任意的自然数p都有成立．（二）数项级数的收敛法1.正项级数的定义若级数满足，则称为正项级数．显然，正级数收敛的充

2、分必要条件是正项级数的部分和数列有上界．2.正项级数的收敛法(1)比较判别法①若正项级数,满足条件则有如下结论：(ⅰ)若级数收敛，则级数也收敛．(ⅱ)若级数发散，则级数必发散（此内容可简记为：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散）．②正项级数,若成立()则级数与的敛散性一致．③极限判别法：正项级数，常数则(ⅰ)若则发散．(ⅱ)若存在，则收敛．在使用比较判别法时，下列三个级数经常被选为比较级数.，当时收敛；时发散．，当时收敛；时发散．，当时收敛；时发散．(2)比值判别法正项级数且则①时，级数收敛．②时，级数发散．③时，无法判断．(3)根值判别法正项级数且则①时，级数收敛．②时

3、，级数发散．③时，无法判断．(4)积分判别法设函数在区间上连续，且非负单减，则级数与广义积分的敛散性一致．3.交错级数及收敛法(1)对任意级数若收敛，则级数必收敛，称为绝对收敛；若发散，而收敛，则称级数条件收敛．(2)交错级数若则称级数或为交错级数．若交错级数满足条件①②则交错级数收敛．（三）幂级数1.幂级数的相关定义函数项级数对区间I上的函数列称是函数项无穷级数．当时，数项级数收敛，则称时函数项级数的收敛点；若发散，则称是级数的发散点。函数项级数的收敛点的全体称为收敛域．2.幂级数称如下形状的函数项级数：和为幂级数．我们知道，幂级数存在一个收敛半径当时，绝对收敛,当时，发散

4、．的计算公式为：3.幂级数的运算(1)设则当时，(2)设则在上连续．(3)设则成立下述结论：(ⅰ)(ⅱ)（四）函数展成幂级数1.函数的直接展开法(1)函数的泰勒展开设在区间内具有任意阶导数，且则(2)函数的麦克劳林级数展开设在区间内具有任意阶导数，且则2.函数间接展开将一些已知的函数展开，通过求导，积分可得到其它一些函数的展开，这种方法称为间接展开法．常用的幂级数有：（五）函数的幂级数展开的应用我们可通过函数的幂级数展开，将复杂的函数由一个多项式函数和一个余项来表示，然后进行数值上的近似计算．（六）傅立叶级数1.1.   三角级数、三角函数系的正交性称是三角级数．三角函数系在

5、区间上正交，即其中任何两个不同的函数之积在区间上的积分是零．2.2.   周期为函数展开成傅立叶级数(1)设是周期为的周期函数，当时，称是的傅立叶级数．(2)收敛定理设是周期为的函数，若它满足条件：在一个周期内连续或只有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的傅立叶级数收敛，并且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于．(3)函数的延拓设的定义域是满足收敛定理要求的条件，则可以根据构造出周期为的函数．当时，．当时，有（七）正弦级数，余弦级数1.正弦级数，余弦级数定理周期为的奇函数可展开成只含有正弦项的傅立叶级数，称为正弦级数周期为的偶函数可展开成只含有余

6、弦项的傅立叶级数，称为余弦级数．2.函数的奇延拓、偶延拓设的定义域是，且满足收敛定理的条件，则可通过在区间上构造出满足要求的函数可以是奇函数，也可是偶函数，然后应用上节延拓的思想，将变成，，则在上，，因此可以得到在上的傅立叶级数．此级数要么是正弦级数，要么是余弦级数．（八）周期为的周期函数的傅立叶级数1.周期为的的傅立叶级数若函数周期为，且满足收敛定理的条件，则其傅立级数为其中2.定义在的函数的傅立叶级数将作为一个周期，延拓为周期为的函数，则可得出在上的傅立叶级数．3.定义在上的函数的傅立叶级数作变换将，变换为然后延拓，展开，求出的傅立叶级数.代入反变换，即可求得的傅立叶级数

7、．练习题 11.1判断下列数项级数是否收敛：（1）．解；，．故发散．（2）．解，收敛．（3）．解，当，收敛；当，发散．（4）．解，收敛．（5）．解　，故收敛．（6）．解，故收敛．（7）（积分判别法）．解发散．（8）．解，故收敛．（9）已知，收敛，是否收敛．解．故收敛．(10)．解，故收敛．(11)．解．,　发散；，收敛；时，，，发散．综上所述，时，级数收敛；时，级数发散．(12)（如何计算）．解,故收敛．(13)．解积分判别法，发散．(14)（为已知数）．解．整数时，，故发散；整数时，，条件收敛．(15