数学物理方法第十六章

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1、第十六章勒让德常数1.勒让德方程：2.勒让德方程级数形式为：（若为偶数，；若为奇数，）3.勒让德多项式的表达式：4.勒让德多项式的微分形式（罗德里格斯表示式）：5.勒让德多项式的积分形式（拉普拉斯积分表示式）：利用积分，可以证明证明：6.勒让德多项式的生成函数：7.奇偶性：当为偶数时，是偶数；当为奇数时，是奇函数。特殊值：，；当为奇数时，，当为偶数时，或，其中，1.正交性：其中，，；，证明：因为上述两式相减，并且在区域上对x积分，得：因为上面等式左边的积分值为所以，当时，当时，补充例题：证明当时，证明：=0+0+…+0=02.模：3.勒让德多项式的递推公式：（1）(

2、2)(3)例题：，则因为，是偶函数，所以。于是再将的具体形式代入上式然后比较x的同次幂的系数，即，，解得，补充例题1.以勒让德多项式为基，在区间上把展开为广义傅里叶级数。解：是三次多项式，设它表示为比较同次幂得：，，，，则2.将函数展开为勒让德多项式的形式解：用直接展开法，令，则由已知，可设，考虑到勒让德函数的奇偶性，显然偶函数，，则，比较系数得：，所以1.连带勒让德方程：2.因为当是正整数时，勒让德方程的通解为所以连带勒让德方程的通解应为，其中，第一类连带勒让德函数，第二类连带勒让德函数1.球谐函数方程：2.球谐函数：3.应用例题1.半径为a的球面上电势分布为，确

3、定球内空间的电势u.解：定解问题为：定解问题有轴对称性，相应的半通解为球内解要求有界，半通解化为由边界条件得：根据完备性：,得最终得所求问题的通解为例题2.半径为a的球面上电势分布为，确定球外空间的电势u.解：定解问题为：定解问题有轴对称性，相应的半通解为球外解要求有界，半通解化为由边界条件得：根据完备性：，得,最终：例题3.一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为，外球面上电势为零，确定区域内电势u.解：定解问题为：定解问题有轴对称性，相应的半通解为由边界条件得：根据完备性：特解为例题4.半径为a的导体球面附近电场分布为，确定球外空间的电势u.解：定

4、解问题为：定解问题有轴对称性，相应的半通解为球外解要求有界，半通解化为由边界条件得：根据完备性：特解化为：