严格α_2-对角占优M-矩阵A的‖A-1‖_∞的新上界 优先出版.pdf

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1、第29卷第6期文山学院学报Vol.29No.62016年12月JOURNALOFWENSHANUNIVERSITYDec.2016-1严格α2-对角占优M-矩阵A的ǁAǁ∞的新上界蒋建新（文山学院数学学院，云南文山663099）摘要：通过对严格α-对角占优矩阵A的恰当分裂，构造了严格对角占优矩阵B，紧接着，利用矩阵范2数的关系和矩阵B的逆矩阵无穷范数的上界，得到了矩阵A的ǁA-1ǁ的新上界。∞关键词：严格α-对角占优矩阵；M-矩阵；无穷范数；界2中图分类号：O151.21文献标志码：A文章编号：1674-9200（2016）06-0046-0

2、3引理1[2]设A=(a)Rn×n是严格对角占优M-矩ij1预备知识阵，那么对任意的t=1,2,…，有Rn×n表示n阶实矩阵的集合。1>q(A)≥v(0)(A)≥p(1)(A)≥…≥p(t)(A)≥v(t)(A)jijijijiji设A=(a)Rn×n，若A≥0（A的元素a≥0），≥…≥0。ijij就称A为非负矩阵；若a≤0(i≠j)，就称A为引理2[3]设A=(a)Rn×n是严格对角占优M-矩ijijZ-矩阵；若A为Z-矩阵，且有A-1≥0，就称A阵，则为M-矩阵。1-l(A)l(A)n11ǁA-1ǁ≤++∑令R(A)=∑

3、a

4、，C(

5、A)=∑

6、a

7、，∞niijiji(t)a(1-u(A)l(A))k=2j≠ij≠ia-∑

8、a

9、p(A)111111ikj1k=2若

10、a

11、>R(A)，iN，则称A为严格对角占优iii矩阵。1-ui(A)ui(A)i-11+∏=若存在α[0,1)，使得

12、a

13、>R(A)αC(A)1-α，iN,a-∑

14、a

15、p(t)(A)a(1-u(A)l(A))j=11-u(A)l(A)iiiiiiikkiii11jii≤k≤n则称A为严格α-对角占优矩阵[1]。引入一些记号：2

16、a

17、+∑

18、a

19、dφt(A)。jijkk

20、a

21、k≠j,ijid(A)=∑

22、a

23、

24、,s(A)=,r(A)=max,引理3[4]设A,BRn×n,A,A-B,是非奇异矩阵，iijjii

25、aii

26、j≠i

27、a

28、j≠i

29、a

30、+∑

31、a

32、jjjjjkk≠j,i则

33、a

34、+∑

35、a

36、r(A)-1-1-1-1-1-1jijki(A-B)=A+AB(I-AB)A。k≠j,im(A)=，q(A)=min{s(A),m(A)}，jijijiji[4]

37、a

38、引理4若ǁAǁ<1，那么I-A是非奇异的，jj∞

39、a

40、+∑

41、a

42、q(A)h(A)1

43、a

44、jijkkii且ǁ(I-A)-1ǁ≤。h(A)=maxji,v0(A)=k≠j,i,∞iji1-ǁAǁj

45、≠i

46、a

47、q-∑

48、a

49、q

50、a

51、∞jjjijkkijjk≠j,i

52、a

53、+∑

54、a

55、v(t-1)(A)2严格α2-对角占优M-矩阵A的逆矩阵无穷jijkki

56、a

57、p(t)(A)=k≠j,i,h(t)(A)=maxji,范数的上界jii

58、a

59、j≠i

60、a

61、p(t)(A)-∑

62、a

63、p(t)(A)jjjjjijkkik≠j,i定理1设A=(a)Rn×n是严格α-对角占优M-

64、a

65、+∑

66、a

67、p(t)(A)h(t)(A)ij2jijkkii矩阵，α[0,1)，如果v(t)(A)=k≠j,i,p(t)=max{p(t)},v(t)=max{v(t)},jii

68、ijiji

69、a

70、j≠ij≠iN={iN∶R(A)>C(A)},jj1iin∑

71、a

72、R(A)1-αijiu(A)=∑

73、a

74、,l(A)=maxk≤j≤n,l(A)=u(A)=0。且φ(B)maxa-a<1,i

75、a

76、ijkk≤j≤nnnt1≤i≤niiiiiij=i+1

77、a

78、C(A)iii收稿日期：2016-08-29基金项目：文山学院科研基金项目“特殊M矩阵的特征值及逆的范数研究”（16WSY11）。作者简介：蒋建新，男，甘肃天水人，文山学院数学学院讲师，硕士，主要从事矩阵理论及其应用研究。46-1蒋建新：严格α2-对角占优M-矩阵A的ǁ

79、Aǁ∞的新上界φ(B)进一步，由引理3知，t则对t=1,2,…，有ǁA-1ǁ≤∞ǁA-1ǁ=ǁ(B-G)-1ǁ=ǁ(I-B-1G)-1B-1ǁ≤ǁ(I-B-1G)-1ǁ1-αR(A)∞∞∞∞i1-φt(B)maxaii-aii11≤i≤nC(A)ǁB-1ǁ≤ǁB-1ǁ（由引理4知）i∞∞1-ǁB-1Gǁ∞=δ(A),tφ(B)tR(A)1-α≤。iR(A)1-αaiii1-φ(B)maxa-a其中B=(bij)Rn×n，且bij=Ci(A),i=j,Ri(A)>Ci(A)。t1≤i≤niiiiC(A)iaij定理证毕。证明令A=B-G，其中

80、B=(b)Rn×n，G=(g)Rn×n，ijijR(A)1-α3数值算例iaiib=Ci(A),i=j,R(A)>C(A)2-1-0.7ijiia例1设A=-1