探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期.doc

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1、探究与发现：函数及函数的周期一、教学目标1.知识与技能①结合实例，了解周期的实际意义;②了解周期的定义，会用定义求一些简单函数的周期;③探究函数及函数的周期,发现函数及函数的周期的公式。2.过程与方法通过学生自己探究和发现，利用周期的定义得出函数及函数的周期的公式，进一步培养学生由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想和推理能力。3.情感、态度与价值观通过本节的学习，让学生获得分析问题、解决问题的一般思路，即通过对简单问题的思考和讨论，得到复杂的数学结论。二、重点与难点本节重点：函数的周期。本节难点：探究函数及函数的周期。三、课时安排1课时四、教学过

2、程1．设置情境　　自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原来的位置重合，故，的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）　　2．探索研究　　（1）周期函数的定义　　引导学生观察下列图表及正弦曲线    0    0 1 0 －1 0 1 0－10　　正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．　　联想诱导公式，若令则，由这个例子，我们可以

3、归纳出周期函数的定义：　　对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．　　如，，…及，…都是正弦函数的周期．　　注意：周期函数定义中有两点须重视：一是是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．　　师：请同学们思考下列问题：①对于函数，有能否说是正弦函数的周期．　　生：不能说是正弦函数的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式成立，所以不符合周期函数的定义．　　②是周期函数吗？为什么　　生：若是周期函数，则有非零常数，使，即，化简得，∴（不非零）

4、，或（不是常数），故满足非零常数不存在，因而不是周期函数．　　思考题：若为的周期，则对于非零整数，也是的周期．（课外思考）　　（2）最小正周期的定义　　师：我们知道…，，，…都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期．　　一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．　　今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．　　依据定义，和的最小正周期为．　　（3）例题分析　　【例1】求下列函数的周期：（1），；　　（2），；　　（3），．　　分析：由周期函数的

5、定义，即找非零常数，使．　　解：（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是．即，∴　　（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是．　　即 　　∴　　（3）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即时能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是．而　　∴思考与探究：师：从上例

6、可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？　　生：令，那么必须并且只需，且函数，及函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是使等式，成立的最小正数，从而函数，及函数，的周期．根据这个结论，我们就可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。【例2】求下列函数的周期：（1），；　　（2），；　　（3），；（4），．分析：由函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期很快可以求出。解：（1），的周期；（2），的周期；（3），的周期；（4），的周期。

7、练习：综合测评练习1-5