探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期 (2)

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1、题目第四章三角函数三角函数的图像与性质高考要求了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义知识点归纳1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2.三角函数的单调区间:的递增区间是,递减区间是;的递增区间是,递减区间是,的递增区间是,的递减区间是。3.函数最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4.由y=sinx的图象变换出y=si

2、n(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少.途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0)平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y=sinx的图象上各点的横坐标

3、变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象5.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式:给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.6.对称轴与对称中心:的对称轴为,对称中心为;的对称轴为,对称中心为;对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负。利用单

4、调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;8.求三角函数的周期的常用方法:经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图.题型讲解例1把函数y=cos(x+)的图象向左平移个单位,所得的函数为偶函数,则的最小值是A.B.C.D.解:先写出向左平移4个单位后的解析式,再利用偶函数的性质求解.向左平移个单位后的解析式为y=cos(x++),则

5、cos(-x++)=cos(x++),cosxcos(+)+sinxsin(+)=cosxcos(+)-sinxsin(+).∴sinxsin(+)=0,x∈R.∴+=kπ.∴=kπ->0.∴k>.∴k=2.∴=.答案:B例2试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象.解:y=sin(2x+)另法答案:(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;(3)再将y=s

6、inx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象.做到例3求函数y=sin4x+2sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.解:y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是[0,],[,π].点评:把三角函数式化简为y=Asin(ωx+)+k(ω>0)

7、是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法.做到例4已知电流I与时间t的关系式为.(1)右图是(ω>0,)在一个周期内的图象,根据图中数据求的解析式;(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.(1)由图可知A=300.设t1=-,t2=,则周期T=2(t2-t1)=2(+)=.∴ω==150π.又当t=时,I=0,即sin(150π·+)=0,而,∴=.故所求的解析式为.(2)

8、依题意,周期T≤,即≤,(ω>0)∴ω≥300π>942,又ω∈N*,故最小正整数ω=943.点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数结合的有效途径.例5(1)y=cosx+cos(x+)的最大值是_______;(2)y=2sin(3x-)的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.解:(1)y=cosx+cosx-sinx=cosx-sinx=(cosx-sinx)=sin(-x).所以ymax=.(2)T=,相邻对称轴

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