半环和李代数的Grbner-Shirshov基理论的进展和应用.pdf

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1、半环和李代数的GrSbner．Shirshov基理论的进展和应用1TheDevelopmentandApplicationsofGr6bner．．ShirshovBasesTheoriesforSemiringmdLieAlgebrasSemlrlngsanleras2摘要本文共两苹．第一章，我们建立了半环(交换半环)的GrSbner．Shirshov基理论并得到半环(交换半环)的钻石合成引理(Composition—Diamondlemma)．Theoremo．01r半环的钻石合成引理J令S是一个FRig(X

2、)中含首一多项式的集合，>是冗幻(x)上的一个项序，Id(S)是FRig(X)中由S生成的Q一理想．则以下的叙述是等价的．(1)S是FRig(X)的一个GrSbner-Shirshov基(2)，∈Id(S)号．厂=a-$b。u，其中，o，b∈X+，u∈Rig(X)，s∈S．，∈Id(S)兮，=alalslbl。乱1+Q2a2s2b2。让2+．．．+Qnonsnbn。utl，其中，01百-61o让1>02百-62。让2>．．．>n。瓦6noun，0≠QiEF'oi，bi∈X+，ui∈Rig(X>，8i∈S(3)I

3、rr(S)=W∈Rig(X>IW≠o．6。u对任意的o，bEX+，uERig，sEs)是FRi夕：FRig(X>／Id(S)的一个F线性基，也是nig的一个规范型(normalform)．Theorem0．02r交换半环的钻石合成引理，J令S是一个FRig[X]中含首一多项式的集合，>是Rig[X]上的一个项序，Id(S)是FRig[X]中由S生成的Q-理想．则以下的叙述是等价的．(1)S是FRig[X]的一个Gr5bner-Shirshov基(2)，EId(S)号，=a-$ou，其中

4、，nEⅨ]，乱∈Rig[X]，sEs(27)，∈Id(S)≥，=alnlsl。“1+oE2a282。“2+⋯+a。o。s。。un，其中，01瓦。u1>n2—82ou2>⋯>an一8no仳n，QiEF'ai∈Ⅸ]，札i∈Rig[X]，8iES．(3)Irr(S)={W∈Rig[X]lW≠丽。仳foranya∈【x】，U∈Rig[X]，s∈S)是FRig[XIS]=FRig[X]／Id(S)的一个F线性基，也是Rig[XIS]的一个规范型．上述两个定理中，Rig(X)表示由x生成的自由半环，FRig(X)是域F上的

5、半环代数，Rig

6、换半环，(z=1+z+z2)(X=1+z2))是z=l+X+X2(X=1+z2)生成的同余．作为结果，我们分别找到了这些半环的规范型．进一步的，我们还证明了自然数交换半环N的每一个同余都是一元生成的，但是交换半环代数Nixl有一条无限的理想升链．第二章，通过李代数的钻石合成引理，我们给出了交换环K上的自由部分交换李代数的GrSbner—Shirshov基，从而我们得到了它的一个K线性基．关键词：GrSbner—Shirshov基，规范型，半环，李代数，自由部分交换李代数，同余ABSTRACTThisthesis

7、consistsoftwochapters．Inchapter1．weestablishGrSbner—ShirshovbasestheoryandgettheComposition—Diamondlemmaforsemirings(commutativesemirings)．Theoremo．01(Composition—Diamondlemmaforsemirings)LetSbeasetofmonicpolynomialsinFRig(X)，>amonomialorderingonRig(X)andId(

8、S)theQ—idealofFRig(X)generatedbyS．Thenthefollowingstatementsareequivalent．(1)SisaGrSbner-ShirshovbasisinFRig(X)(2)，∈Id(S)令，=a-$boUforsomea，b∈X+，U∈Rig(X)ands∈S．(27)，∈Id(S)号，=011n1S1b1。仳1+Q2n2s2b2