李群和李代数附录

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1、左移、左不变向量场、Lie代数定义对于r维Lie群G，取定g∈G，定义左移Lg：GG→hg6heg6γγ()tt6i()==Lg{()}γγtg()t左移Lg的微分dLg即为诱导。DLgγγ′′(0)6(0)=dLg{(0)}γ′那么，在TG()的幺元处有：。eTG()→τ()Geg现在我们来看映射Φ：⎛⎞⎛⎞x11y⎜⎟⎜⎟##Φ:⎜⎟⎜⎟((yyxxj==,"",),1,2,,n)⎜⎟⎜⎟jj1nxy⎝⎠⎝⎠nnM6M12xx6ϕ()γϕ()tt6{()}γγ=()tTM()→TM()xx1(ϕ)2映

2、射Φ的微分dΦ:γϕ′′(0)→={()}γγt′(0)00t=⎛⎞x1()t⎛⎞xa'(0)11⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟ϕγ{()}:t#γ′(0)∼#=#∼X⎜⎟⎜⎟⎜⎟e⎜⎟⎜⎟⎜⎟x()txa'(0)⎝⎠r⎝⎠rr⎝⎠⎛⎞y1⎛⎞f11(,,,(),yy""rrx1tx，()t⎜⎟⎜⎟ϕ()g=#，ϕγ((gti#))=。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟yfyxt(,())⎝⎠r⎝⎠rrr∂fj∴γ'(0)~'(0)xjx==∑∑(,)

3、yx=01x'(0)klyjk(,",yar)kkk==11∂xk⎛⎞a1r⎜⎟⎛⎞

4、Xe~⎜⎟#，Xdgej~()LgX~⎜⎟∑lyyajkr(1,,)""k=1,,r.⎜⎟⎝⎠k=1a⎝⎠r∂∂在TG()取基{,XX==",}，则有eee1∂∂xrx1r⎛⎞y1r∂⎜⎟dLgX()ejkk==∑lkr(,,)y1""y∂xXg{,,}Xgg1Xr为TGg()处的基，ϕ()g=⎜⎟#j=1j⎜⎟y⎝⎠r这样，对TG()中每取定一向量X，就在G的切丛TG()()TangentBundle上定义ee一向量场X！X~左不变向量场((Xd=LgX))geX由X（X在e处之值）确定。e因此，G在幺元处的

5、切向量与G上左不变向量场一一对应。因此Lie群G的Lie代数g有三种（等价的）不同表现形式：⎧幺元处的切向量⎪g⎨单参数子群⎪⎩左不变向量场现在通过左不变向量场，Lie代数的这种表现形式来定义Lie乘法。我们将向量看成是对函数求向导数的运算，将Lie群G看成流形，在幺元的一个邻域U⎛⎞a1r⎜⎟∂中取定坐标系{,}ϕU：{,,,}x12xx"r，在幺元处取定一向量Xe~⎜⎟#（即∑ajx

6、=e），⎜⎟j=1∂xja⎝⎠r确定G上一左不变向量场X，则g⎛⎞x1rr∂⎜⎟Xlg=∑∑((jkx1(,",xr)

7、x=

8、ϕg)ϕ()g=⎜⎟#jk==11∂xj⎜⎟x⎝⎠rM→N如下图所示，流形之间的映射为ϕ：x6ϕ()xg=ϕMx••yN*ϕ∞∞XCMCN:()(→)向量场((XTM∈))为：f6Xf=h∞∞∞*CNCM()→()流形上C函数之间的映射⇒ϕ：hh6•ϕTM()→TN()xxϕ()∞流形上切向量之间的映射，即映射ϕ之微分⇒dϕ：∀∈hCNXTM(),∈()xdXhϕϕϕ()()DD=Xh()∞现在我们假定XYTM,(∈)（M上两向量场）（MC流形），则有：rr∂∂∞Xa=∑jr(,,)xx1"，Yb=∑j()x，

9、f∈CM()j=1∂xjj=1∂xjr∂fXYf()==XYf()X(∑bxj())j=1∂xjkr∂∂f=∑∑axkj()(bx())kj==11∂∂xxkjkr∂b∂∂fr2fj=+∑∑axkj()(∑bx())kj==11∂∂xkjxxj=1∂∂jkx因此，XY∈TM()，即XY不是M上的向量场（因为含有二阶偏导数）。rr∂a∂∂fr2fjYXf()=+∑∑bxkj()(∑ax())kj==11∂∂xkjxxj=1∂∂jkxrr∂∂ba∂fjj()XYYX−=(f)(∑∑axkk()(−bx))jk==1

10、1∂∂xkkxx∂j可见()XYYX−∈TM()，对XYTM,(∈)[⇒XYTM,](∈)TMTM()()×→TM()今后记为[,]XY=−XYYX，称为向量场变换积：CJ.:XY,[6XY,]现证：若XY,为Lie群G上之左不变向量场，则[,]XY亦为G上之左不变向量场。我们将G上之左不变向量场看成Lie代数的一种表现形式，则[,]XY是Lie代数中的一种封闭运算（两左不变向量场的交换积仍为左不变向量场），称为Lie乘法。（这样定义的Lie乘法与线性群特殊情况的定义是一致的！）由左移微分映射之定义：([,](

11、))()[,](dLgXYf•=LgXYfLgD)=−•((XYYXf))Lg=•XYfL((•−gYXfL))((•g))=•XdLgYf(())LgYdLgXf−•(())Lg=•(()(dLgXdLgYf))Lg−•((dLgYdLgXf)())Lg=−(()(dLgXdLgY)(dLgYdLgXLg)())=([dLgXdLgY(),（)]fLgi)故得：dLgXY([,])[