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1、多边形模块五 四边形第19讲 多边形与平行四边形多边形的有关性质(1)n边形的内角和为;(2)任意多边形的外角和为;(3)从n边形的一个顶点出发可以引出条对角线,共有条对角线;(4)正n边形是对称图形,对称轴有n条,但只有边数是的正n边形才是中心对称图形.(n-2)×180°360°(n-3)轴偶数平行四边形1.定义:两组对边分别的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质和判定(常考点)平行边角对角线性质对边对角对角线互相判定①两组对边分别的四边形是平行四边形;②两组对边分别的四边形是平行四边形;③一组对边的四边形是平行四边形两组对角分别的四边形是平行四边形对角线互相的四边形是平行四边形平行
2、且相等相等平分平行相等平行且相等相等平分多边形的内角和、外角和【例1】一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于()(A)108°(B)90°(C)72°(D)60°思路点拨:先根据内角和公式求出边数,再根据外角和求出每一个外角.C多边形中有关角的计算要注意:(1)熟练掌握内(外)角和公式;(2)应用方程思想列出方程求解,或采取逐项验证法,对提供的项进行验证.平行四边形的性质【例2】(2018曲靖)如图,在平行四边形ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,点M,N是线段上两点,且EM=FN,连接AN,CM.(1)求证:△AFN≌△CEM;(1)证明
3、:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,∴∠AFN=∠CEM,∵FN=EM,AF=CE,∴△AFN≌△CEM(SAS).思路点拨:(1)利用平行线的性质,根据SAS即可证明;(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度数.(2)解:∵△AFN≌△CEM,∴∠NAF=∠ECM,∵∠CMF=∠CEM+∠ECM,∴∠ECM=∠CMF-∠CEM=107°-72°=35°,∴∠NAF=35°.思路点拨:(2)利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM,根据三角形外角的性质求出∠ECM即可.平行四边形的性质及应用(1)对边平行且相等,是证明线段平行或相等的依据;(2)对角相等,邻角互
4、补是证明角相等或计算角的度数的依据;(3)对角线互相平分是证明线段相等,中点问题的依据.平行四边形的判定思路点拨:(1)由三角形中位线的性质得ED∥FC,结合已知条件,利用两组对边相互平行的四边形为平行四边形即得结论;如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,AC的中点,连接CD,过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F.(1)证明:四边形CDEF是平行四边形;(1)证明:∵D,E分别是AB,AC的中点,∴ED是△ABC的中位线,∴ED∥FC,又∵EF∥DC,∴四边形CDEF是平行四边形.【例3】(2018大庆)思路点拨:(2)由四边形CDEF的周长是25cm得AB+BC=25
5、cm,在Rt△ABC中根据勾股定理列方程求解.(2)若四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,求线段AB的长度.(2)解:∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴AB=2DC,∵ED是△ABC的中位线,∴BC=2DE,∵平行四边形DCFE的周长为25cm,∴AB+BC=2DC+2DE=25(cm),∴BC=25-AB,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13cm.判定平行四边形的思路:(1)若已知一组对边平行,可以证明这组对边相等,或另一组对边平行;(2)若已知一组对边相等,可以证明这组对边平行,或另一组对边相等
6、;(3)若有一组对角相等,可以证明另一组对角相等;(4)若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.1.(2018北京)若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为( )(A)360°(B)540°(C)720°(D)900°解析:该正多边形的边数为360°÷60°=6,该正多边形的内角和为(6-2)×180°=720°.故选C.C2.(2018安徽)▱ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是()(A)BE=DF(B)AE=CF(C)AF∥CE(D)∠BAE=∠DCFB解析:如图,连接AC与BD相交于点O,在▱ABCD中,
7、OA=OC,OB=OD,要使四边形AECF为平行四边形,只需得到OE=OF即可.若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF,故A正确;若AE=CF,无法得出OE=OF,故B错误;若AF∥CE,可证明△AOF≌△COE,则OE=OF,故C正确;若∠BAE=∠DCF,可证明△ABE≌△CDF,从而得到DF=BE,则OE=OF,故D正确.故选B.3.(2018泸州)如图,▱ABCD的对角线AC
