一类六阶非线性波动方程的Cauchy问题和初边值问题.pdf

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1、郑硕士学位授予单位代码研究生学号密级堂论文论文题目：一类六阶非线性波动方程的作者姓名学科门类专业名称研究方向导师姓名、职称Cauchy问题和初边值问题王玉柱理学基础数学偏微分方程陈围旺教授二零零七年四月1045904300805一类六阶非线性波动方程的Cauchy问题和初边值问题摘要本文分四章：第一章为引言；第二章研究一类六阶非线性波动方程的Cauchy问题局部解和整体解的存在性和惟一性；第三章利用凸性方法证明上述Cauchy问题解的爆破；第四章研究一类六阶非线性波动方程的初边值问题局部广义解的存在性，并给出解爆破的充分条件．在第二章中，我们研究

2、一类六阶非线性波动方程的Cauchy问题t概一％z一％删+n％4+啊n=9∞)∞，z∈R，t>0v(z，0)=tJo(石)，vt(x，0)=口1(z)，z∈R，其中口(z，t)表示未知函数，a>0为常数，9(s)为给定的非线性函数，Vl(z)为给定的初值函数，下标z和t分别表示对z和t求导数．为简单起见，我们利用比例变换v(x，t)=Ⅱ(Ⅳ，r)=u(x，厢)把方程(1)改写为“。一％一“一+即+蛳，，=：b(“)+(1一。)“]。．不失一般性，我们研究下面的Cauchy问题(1)(2)vo(x)和““一孔。$一仳。础+乱一十u一此=毋(u)嚣，

3、z∈R，t>0，(3)“($，0)=“o(z)，ut(z，0)=让1(z)，z∈R，(4)其中u(x，t)表示未知函数，毋(s)为给定的非线性函数，UO(z)和Ul(z)为给定的初值函数．我们利用压缩映射原理证明Cauchy问题(3)，(4)局部解的存在性和惟一性，并给出整体解存在的充分条件，主要结果如下：定理1设s>j1，UO∈伊，Ul∈H5，≯∈e卅1(R)和妒(o)=0则Cauchy问题i(3)，(4)存在惟一的局部解“∈C2(【o，p)；H3)，其中【0，TO)是解“(曩t)存在的最大时间区间，而且如果sup【Ilu(·，t)lt'H·+

4、flug(·，t)J1．a】j1，U0∈Hs,札l∈H8,砂∈e㈨+1(R)，≯(o)=0和【o，P)是Cauchy问题(3)，(4)的解u(z，t)∈c2(【o，p)；H8)存在的最大时间区间．如果supIlu(·，t)ll。≤尬，te[0，T”)其中尬是一正常数，则TO=oo．定理3设8≥1，“o∈H8,u1∈H。，庐∈e纠+1(R)，0(0)=0，A一1U1∈L2，母(牡o)∈L1，且圣(s)20或∥(s)是下方有界的，即存在常数岛，使得≯’(s)≥co，Vs∈R，则Cauchy问题(3)，(4

5、)存在惟一的整体解“∈C2(【o，o。)；H8)，其中A-1“1=F一1【㈦一1F钍。(z)】和圣(s)=蔚≯(r)打，F和F-1分别表示R上的Fourier变换及其逆变换．注l在定理3的条件下，当s>2时，则Cauchy问题(3)，(4)存在惟一的整体古典解．在第三章中，我们利用凸性方法证明Cauchy问题(3)，(4)的解在有限时刻发生爆破．主要结果如下：定理4设庐(8)∈e(月)，uo∈H1，乱1∈H1，A一1“l∈L2，西(s)=J苫≯(7．)打，垂(Ⅱo)∈L1且存在常数6>0使得≯(s)s≤(4(f+2)垂(s)+25s2，Vs∈R．

6、如果下列条件之一成立，则Cauchy问题(3)，(4)的解在有限时刻发生爆破：(1)E(0)o；(3)E(0)>0，(A‘1uo，A_1ltl)+(U0，U1)-4-(U0w，Ul。)>2x／E(0)[IIA。uoIl2+lluoll2+IJuoxll2】．在第四章中我们讨论一类六阶非线性波动方程t正tt一魄。一扎牡托一。札一+Uxt赶=妒(u)。。，z∈(0，1)，t>0，(5)的如下初边值问题u(o，t)=u(1，t)=抛。(O，幻=％。(1，t)=0，t≥

7、0，(6)u(x，0)=妒(z)，Ut(z，0)=1；f，(z)，z∈【o，1】，(7)或如下的初边值问题抛(o，t)=‰(1，t)；“一(o，t)=“一(1，t)=0，t≥0，(8)u(x，0)==妒(z)，札。(z，0)=妒(z)，z∈【0，1】，(9)其中口>0为常数，≯(s)为给定的非线性函数，妒(z)和妒(z)为给定的初值函数．我们证明上述问题(5)一(7)；(5)，(8)，(9)存在局部广义解，并给出解不存在的充分条件．主要结果有：定理5设≯∈伊(R)，妒，妒∈S={钉∈H4Iv(O)=口(1)=Vx。(o)=％。(1)=o)，则问题

8、(5)一(7)存在局部广义解札(￡)∈Ⅳ2，”(【o，TI；s)，其中0