一类具有非线性异号源项波动方程的初边值问题

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1、第26卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．26，No．22010第2期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSIT~一类具有非线性异号源项波动方程的初边值问题卞春雨，白玉成(哈尔滨师范大学)【摘要】研究具有两个异号非线性源项波动方程的初边值问题u+△++aI“l～“一bIuI～u=0(>0，a>0，b>0)．该方程用以描述具有两个性质相并的源作用下的物理系统．利用Galerkin方法证明了若l≤n≤4时，1

2、-r整体弱解u(x，t)∈￡(0，；())．关键词：波动方程；整体弱解；初边值问题关于半线性波动方程的研究主要来自下面u盯+△+Otttj+alIp一—bl／2,IP一=两个模型方程0>0(3)u一15u=一Iul一，(1)(，0)=“0()，“(t)(，0)=()，∈一Au=IMl～M．(2)(4)在方程(1)中，非线性源是一l“lu，它的符号“I扪=0(5)与相反；在方程(2)中，非线性源项是fHIu，△ⅡJdn=0(6)它的符号与相同，在由两种异号电荷形成的电其中c为适当光滑的有界域，a>0，b>0．场中，所有电荷都受到两个异号电场源

3、的力．在为方便记，将函数的(力)范数记为这种情况下，就要考虑具有两个异号源项的波动lI·，P=2时，ll·ll，=lI·；c均代表常方程．在不具有耗散项的情况下Levandosky在参数，但不同的地方的具体值可能不一样，／3,表示u考文献[1]中研究了一类梁振动方程+△“+对时间变量t求异．在文中，对P和q作如下假设：=IIP．对应的线性方程的一一估计和时(H)：1≤n≤4时，1

4、能量散射理论．在参考文献引理1对∈(力)，lI△Il为[2，3]中利用位势并理论证明了方程u十△+IlIl．：的等价模．=引理2(Sobolev嵌入定理)设cRlIp-1“整体解的存在性、唯一性及光滑性，构造有界且是有锥性质，则当2k≤几时，()嵌入不稳定集证明了解在有限时刻发生爆破，在参考()，其中2k

5、在方程的初边值问题：×[0，T)上的弱解，若(，t)∈L。(0，；收稿日期：2009—11—18第2期一类具有非线性异号源项波动方程的初边值问题33())，(，t)∈L(0，T；L())，对所有f∈=手+[0，T)成立(u，)+f(Au，Av)dT+(，)+式中r=}{，r=取，使等=在将I(0l“IP一u—bIuI一M，)dr=(1，口)+上式于积分得(0，)，V口∈月()，且U(，0)：u0()于llul：：：≤Cll“ll；：(11)月()，Ⅱ(，0)=()于(力)．再由(1O)得定理1设P与q满足(H)，“。()∈(门)，llⅡm}

6、I+l1△“ll++u()∈L()，则问题(3)-(6)存在一个整体弱解(，￡)∈(0，；月(力))，(，t)∈Jll“Idr≤lI(o)l1+Il△u(0)l1+(0，T；L())．(o)+cII(12)证明设{，()；：1，2，3⋯}为问题一Aw：Aw，WI。=0的特征函数系．构造问题(3)～式中常数C是与a,b、P、q有关的常数，lI为(6)的近似解为：的测度．由(8)式和(9)式知，I1(O)Il与()=∑(f)()，『Iu(0)『1对于m有界，由Sobolev嵌人定理知g『m(￡)∈C，，n=1，2，⋯ll(0)II：：：对于m有

7、界．从而由(12)式可得其中g(t)满足下面方程组lI“Il+l1ll2+≤c，(“(t)，wj)+(Au(t)，△)+(OLU(t)，加)+(口l“(t)I一u(t)一bI(t)l～M(t)，0≤t<∞)=0=1，2，⋯，玑(7)所以，{。Jl一}于(O，o。；(力))；(，o)=∑一。在瑶()nHo(){bIul～}于。(o，。。；())有界；{u}于L(0，。。；()n“())有界；{u}于中强收敛，当m一∞时；(8)L(0，∞；L())有界；从而存在{(，t)}的u(，0)=∑bimwj—u在()中强收子序列仍记为{u(，t)}，使

8、得当m一∞时，敛，当m一∞时(9)am(，t)__+u(x，)于(0，∞；()n由常微分方程的存在唯一性定理知(7)～(9)的¨())弱收敛，且于力X[0，∞)上几乎处解是局部存