一类四阶具阻尼非线性波动方程cauchy问题

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1、Ph.M.Dissertation，ZhengzhouUniversity，No.TheCauehyProblemforaClassofDamPedNonlinear叭/aveEquationsofFOurth一OrderCandidate:Rui、V匕lfangSuPervisor:ChenGuowangSPeeiality:PartialDifferentialEquationsDepartmentO’fMathematies，ZhengzhouUniversityZhengzhou，450052，P.R.ChinaMay，2008一类四阶具阻尼非线性波动方程的Calc

2、hy问题摘要本文研究一类四阶具阻尼非线性波动方程的Cauchy问题:‘，，，一、，J，二一al、，x‘，.‘。+aZ，‘1‘一a:，。，汪二。=笋(、，)二二+、，(:二)J一l，(、，)，x任R。才>O，(1)(2);，(、，O)=，，。(:)，、、‘(:。O)=、，1(x)，:任R。其中u，.aZ.a3>0为常数，件:，t)为未知函数，侧、)，州、)和l，同为给定的非线性函数，从，(川和:1(.r)为给定的初值函数，下标￡和t分别表示对犷和亡求偏导数.方程(l)包含描述诸多物理现象的数学模型.为了讨论简单起见，作变量代换x=沪石夕，t=t，可将eauehy问题(1)，(

3、2)化为at，一a场二一ux*‘+口。，一今场x:=了(司二二+抓。二)二一lz(司，(4)、(二，O)=。0(:)，。‘(:，O)=。1(x)，(5)所以本文只研究Canchy问题(a)，(s)的整体广义解和整体古典解的存在性，唯一性以及解的爆破，因为通过代换(3)可得到问题(l)，(2)的结果.本文分四章:第一章为引言;第二章研究四阶具阻尼非线性波动方程的canc坷问题(a)，(5)的局部广义解，局部古典解的存在性和唯一性;第三章研究此Canchy问题(a)，(s)的整体广义解和整体古典解的存在性和唯一性;第四章研究问题(4)。(5)解的爆破.主要结果如下:定理1假定(

4、1)，、>晋，f，。，l，:CI“]+‘(R)，f(O)一O，、(O)一O，h(O)一O;(2)，，。任Hs(R)，。1任Hs(R).则问题(4)，(5)有唯一局部广义解。任C([0，T0);Hs(卿)，其中【0，T0)是解存在的最大时间区间.定理2假定(1)，、>粤，f…l，任‘[“]+‘(R)，厂(o)=o:夕(O)=O，/，(O)=O，l了‘(、)j三C(。，Gl(，，，，1)全O，H(?，)全O，G，(。。;、)，H(，，0)任L‘(R)其中岛>0为常数;万l泞、了0Jgt4、l、产，‘.，‘o任H“(R)，。1任HS(R):I。(。川:八1‘1(，，二)六l二二l

5、+召1，12，(。)}:且2万(，，)六l。l+召2，其中且，，召，>o，1三八三戈(，一1，2)为常数，Gl(二)一尤”’。(S)“一H(·)一芜“‘Z(S)“5·则问题(4)，(s)有唯一整体广义解。任侧[0，oo);H“(卿).注设。。C([O，二);H“(R))是问题(4)，(5)的广义解，若s>昌，则问题(4)，(5)存在整体古典解。任少(!0，oo);C县(卿).定理3假设f(s)一。，。，hoC(尺)，。0，。，。万‘(尺)，‘1，HoL‘(尺)且存在常数。>0满足不等式259(s)三2(3+4a)Gl(、)+(a+4aa一守，)s，，V、任尺，251，(s)

6、三2(3+4a)H(s)一口252，丫s任R，则问题(4)，(5)的广义解或古典解。在有限时刻发生爆破，若下列条件之一成-」一止:(1)E(O)0;{4。+3_，_、，，月(3)E(0)>O锐ouldx祝ox祝lxdx全、)万--，，二乃咬U)(11锐0.1‘+llul11‘且，人V任a+艺其中E(‘)一，{一(一‘)日2+·.…(一‘):’+.，一(一‘):’+2口尤‘}{二(一):’“·rt_r十cor十。+2今.儿日，ux·冲川2“丁+“j-二Gl(场(x，‘”“工十Zj-、H(“(x，‘))“

7、了·关键词:四阶具阻尼非线性波动方程;cauchy问题;局部解;整体解;解的爆破.TheCauehyProblemforaClassofDamPedNonlinear矶/aveEquationsofFOurth一OrderAbstractIxzthisl)al)el·，从·eareeolleerr一edwiththefollowingCauellyproblenlforael:、、5ofdanlPe(1nonlixleal、waveeqllationoffourth一order:、，‘。一、，J，一a12，.:二*