一类具阻尼ibq方程cauchy问题

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1、Ph.M.Dissertation，ZhengzhouUniversity，No.05321071TheCauehyProblemforaClassofthedamPedIBqEquationCandidate:BuRuixiaSuPervisor:Prof.丫VangShubinSPeeiality:PartialDifferentialEquationsDePortrnentof入，Ia，htemoties，Zhengzho一1UniversityZhengzhou，450052，P.R.ChinaMav，2008一类

2、具阻尼IBq方程的Cauchy问题摘要本文分五章:第一章为引言;第二章研究一类具阻尼IBq方程的Callchy问题局部解的存在性和惟一性;第三章研究了Cauc场问题整体解的存在性和惟一性;第四章证明上述catlchy问题解的不存在性及有限时刻的爆破，并给出解爆破的充分条件;第五章我们首先得到一些估计，利用这些估计得到小初值条件下解的衰减性质，从而证明了整体解的存在性.具体内容如下:在第二章中，我们研究如下一类具阻尼IBq方程的Cauchy问题了l、‘了、艺︵n土.、了尹.、、，。，，一。x二一。x二‘:+峋u，一。1。二x

3、‘=f(二)xx，x〔R，艺>o，u(二，O)=沪(x)，u‘(x，0)=讥(x)，x任R，局部解的存在性和惟一性，其中峋)o，约)O，u0+约>0是常数，试x，t)为未知函数，j(的是给定的非线性函数，下标t，二分别表示对t，x求导.为此，注意到I一髯在H‘(助上是可逆算子，我们将对(l)等价变形为。‘，+(I一愁)一’(、+。1毋)。‘=(I一越)一’碳(f(。)+u)，(3)然后利用压缩映射原理证明Cauchy问题(3)，(2)局部解的存在性和惟一性，从而可得问题(l)，(2)局部解的存在性和惟一性.主要结果如下:定

4、理_1设‘_，>妥1，沪任Hs，劝二〔HS，f〔C，I‘:J+.，，(R_、)和__f(0、)=0，则_.Cauehy问、_题__(1、)，’一一一2’‘一”‘一’‘一“z’‘、‘”’一“’一‘一、‘’(2)存在惟一的局部解。〔C，(}O，TO);H勺，其中[0，T0)是解试x，t)存在的最大时间区间，且当sup[日。(·，亡)1{。·+日。，(·，t)}}。·1言1，甲任护__，劝二任打__

5、“，J_任C_，I‘，，卞，‘t月_、)，J_戈U_、)=U_，和一_rIU_，了一’U、)足~U_atle_hyl、司_乙题(1)，(2)的解。(x，t)存在的最大时间区间，如果、up}{u(·，t)}}co〔M2，沈〔【0了0)其中八九是常数，则To定理3设沪任H，，叻:H，，F(。))O，foC，(R)和f(u)F(?尤卜睿尺(?工)，。(?￡卜关“。(·)d，，且‘”足}人(u)}镇八凡(u)六}u}+刀，l毛、、毛oo，其中A，召为正常数，则问题(1)，(2)有整体解。(x，t)任C‘([O，oo):H，).第四

6、章则借助一加权函数，用凸性方法得到了问题(l)，(2)的解在有限时刻发生爆破的充分条件.主要结果如下:定理4设。(x，t)是Ib]题(l)，(2)的解，沪。万‘，劝。万2，(一越)一告沪。乙2，F(。)-关“，(S)d3，F‘·，·“1，‘(·，·CZ‘R，，(·+‘，·’+2·F‘·，+‘(·，·)0，·)‘，则CatIOhy问题(1.1)，(1.2)的解试:，t)在有限时刻爆破，如果下列条件之一成立:(1)E(o)

7、)>0，2((一理)-沪，哟+2(笋，叻二)+咧训2+。1日训2O，二(x，O)=沪(x)，。，(x，O)二也(x)，x‘R，解的一些估计，然后利用压缩映射原理得到了整体解的存在性.主要结果如下:定

8、理5设沪任H‘自L‘，劝〔HZ门L‘，l‘〔LZ(o，T:H‘自五‘)，则Cauehy问题(4)，(5)有惟一的广义解。(x，t)〔C，(10，刀:H‘)，(丫T>0)，且有估计11。(·，r)ttOO毛喘(z+r)一告(}t沪tl。，+{}沪{I:，+{}、!{、2+}}。{l:1)+c0厂‘(‘+: