函数与不定积分.ppt

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1、第2章导数与不定积分一、内容提要（一）主要定义1.设f(x)在x0的某邻域内有定义，则f(x)在x0处的导数定义为令x=x0+x,则2.设f(x)在x0的左邻域内有定义，则f(x)在x0处的左导数f-(x0)定义为类似地可以定义右导数f+(x0).3.若f(x)在x0的某邻域内有定义，且y=Ax+o(x)，成立，其中A是不依赖于x的常数，则称f(x)在x0处可微分，称Ax为f(x)在x0处的微分,记作dy.即dy=f(x0)x.4.y=f(x),当f(x)连续时，称f(x)连续可导.5.设f(

2、x)是定义在某区间I内的函数，如果存在函数F(x),使得在I内任何一点都有6.如果F(x)为f(x)在I内的一个原函数，则称F(x)+C为f(x)在I内的不定积分，记作F(x)=f(x)，或dF(x)=f(x)dx成立，则称F(x)为f(x)在I内的一个原函数.（二）主要结论1.f(x)在x0处可导的充要条件是f-(x0)与f+(x0)存在且相等.2.f(x)在x0处可微的充要条件是f(x)在该点可导.3.当所给函数可导时，有(1)(uv)=uv;(2)(Cu)=Cu;(3)(uv)=uv

3、+uv;(莱布尼茨公式).4.基本求导公式(1)(C)=0;(2)(x)=x-1；(3)(sinx)=cosx;(4)(cosx)=-sinx；(5)(tanx)=sec2x;(6)(cotx)=-csc2x；(7)(secx)=secxtanx;(8)(cscx)=-cscxcotx;(9)(ax)=axlna(a>0),特别(ex)=ex;5.不定积分基本性质(1)df(x)dx=f(x)dx;(2)dF(x)=F(x)+C；(3)kf(x)dx=kf(x)dx;(k是常数，

4、k0)；(4)[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx.6.基本积分公式特别exdx=ex+C；(7)sinxdx=-cosx+C；(8)cosxdx=sinx+C；(9)tanxdx=-ln

5、cosx

6、+C；(10)cotxdx=ln

7、sinx

8、+C；(11)secxdx=ln

9、secx+tanx

10、+C；(12)cscxdx=ln

11、cscx-cotx

12、+C；(13)secxtanxdx=secx+C；(14)cscxcotxdx=-cscx+C；(15)sec2xdx=t

13、anx+C；(16)csc2xdx=-cotx+C；(20)shxdx=chx+C；(21)chxdx=shx+C；（三）结论补充1.可导的偶函数的导函数是奇函数；可导的奇函数的导函数是偶函数.2.若y=(x)(x),(x)0,(x)存在，则3.f(x)-f(x)=ex[e-xf(x)].4.若f(x)在[x0,x0+]上连续，在(x0,x0+)内可导，且存在，则f+(x0)=A5.导函数介值定理(达布定理)f(x)在[a,b]上可导,为介于f(a)和f(b)之间的任一值，则

14、(a,b),使f()=.6.设f(x)可导，且F(x)=

15、f(x)

16、,则(1)当f(x0)0时，F(x)在x0处可导，且(2)当f(x0)=0时，F(x)在x0处可导的充分必要条件f(x0)=0.7.若f(x)在x0处连续,则

17、f(x)

18、在x0处也连续.8.f(x)在x=0处连续,f(0)=0.9.补充积分公式10.当f(u)具有原函数F(u),且u=(x)连续可导时，则有f[(x)](x)dx=F[(x)]+C.11.当x=(t)单调可导且非零时，若f[(t)](t)dt=F(t

19、)+C,则有f(x)dx=F[-1(x)]+C.t=-1(x)表示反函数.12.设u(x),v(x)具有一阶连续导数，则有u(x)dv(x)=u(x)v(x)-v(x)du(x).二、归类解析（一）求导运算1.按定义求导例2-1设f(x0)存在求f(x0).例2-2f(x)=(x-a)(x),(x)在x=a处连续,求f(a).例2-3f(x)=x(x-1)(x-2)···(x-2006),求f(0).例2-4设求f(0).又函数f(x)在x=0处可导，求F(x)=f[(x)]在x=0处的导

20、数.例2-5设例2-6设f(t)存在,a0,求式中g(x)为有界函数，求f(0).例2-7设2.复合函数求导数例2-8例2-9例2-10例2-11(

21、x

22、1)，求y.3.参数式函数与隐函数求导例2-12x=1–t2,y=t–t3,求例2-13作自变量变换x=sint,化简方程例2-14例2-15设y=y(x)是由方程xy=yx所确定的函数,求y例