特殊函数的不定积分.ppt

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1、应用数理学院应用数学学科部(AdvancedMathematics)高等数学第三节几种特殊函数的不定积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分基本积分法:换元积分法;分部积分法.初等函数求导初等函数积分例如,下列函数积分都不是初等函数直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.有理函数的定义两个多项式的商表示的函数一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式真分式;假分式.例多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和对一般有理真分式

2、的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理部分分式(最简分式).用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋值;(3)求导与赋值结合使用.例求解由多项式除法,有说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.假分式例求解比较系数因式分解代入特殊值来确定系数取取取例求解二次质因式注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B,a,p,q都为常数,并设几种典型部分分式的积分之和n为大于1的正整数.类型解决方法作代换去掉根号.二、简单无理

3、函数的积分回代例解令原式=解令分部积分回代例三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数.一般记为如三、三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数回答是肯定的.由三角学知识可通过变换事实上,由半角变换(或称万能代换）则表示.化为有理函数的积分.u的有理函数例求解由万能代换回代例求解法一回代法二修改万能代换公式令说明及的有理式的积分时,更方便.用代换通常求含例求解原式=这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦.使分母为单项,作变换分析分母是100次多项式,如作一个适当的变

4、换,而分子为多项,除一下,化为和差的积分.例求解原式=分项凑微分约去公因子配方例求解比较系数二次质因式作业P1862(1)(5)(9)P1876,10,11,18