2013年高考函数客观压轴题的多解或妙解.doc

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1、2013年高考函数客观压轴题的多解或妙解廖东明函数是高中数学的核心内容，它最能体现高中数学的综合性、灵活性．高考试题中的函数客观压轴题，凝聚着命题者的智慧、独创性，也能淋漓尽致地考生综合运用知识和数学思想方法、新颖独到化难为易的解决问题的能力．一、分段函数与含参不等式交融问题【例1】（2013年高考新课标全国卷I文第12题理第11题）已知若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用函数与的图象数形结合分类讨论求解；或者分类讨论将不等式的绝对值符号脱去并利用相关知识求解．【解法1】（数形结合与分类讨论结合）的图象如图所示，为过原点的一条直线．依题意，直线在函数的图

2、象的下方或有公共点．当时，显然不满足（即使很小，当正数充分大时，直线与的图象相交之后位于图象的上方）．当时显然满足．当时，找与（）相切的情形，联立消去得，由解得，数形结合知时满足条件．综上，，选D．【解法2】（分类讨论与代数法结合）当时，不等式即，由二次函数知识知只需，即．当时，不等式即，构造函数，则．若，则，在上单调递增，，满足条件．若，则在上单调递增，在上单调递减，因此当（其中）时，即不满足．综上，，选D．【点评】分类讨论与分段函数密切相伴，数形结合与藏图之式不分；以形助数、以数析形，在直观启迪、细微刻画中求解问题．二、含参不等式存在性问题【例2】（2013年高考

3、新课标全国卷II文第12题）若存在正数使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由变形为，然后数形结合求解．或转化为不等式“能成立”问题．【解法1】不等式可变形为．在同一平面直角坐标系中作出和的图象．由题意，在区间上，直线有一部分要在曲线的下方，观察图象知，有，所以，选D．【解法2】不等式可化为．设（），由函数和都是增函数，所以在上单调递增，所以（），因此要存在正数使成立，只需．【点评】不等式“能成立（存在）”与“恒成立”的求解方法都是转化法，一是转化为最值问题，常需要分离参数；二是转化为函数图象问题，常数形结合抓临界值来成立．但是，不等式“能成立（存在）”与

4、“恒成立”是有区别的，“能成立”只需要找到存在“一个或若干个”或满足条件的某个区间，而不是在指定的区间上都成立．三、图形运动与函数交汇创新问题【例3】（2013年高考江西卷理第10题）如图，半径为的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点．设的长为（），，若从平行移动到，则函数的图象大致是（）【分析】本题主要考查函数建模、函数图象的变化，考查运动变化的观点以及观察、分析、判断、解决问题的能力．本题函数解析式求解难度不大，可以通过求函数的解析式进而利用其导函数作出判定．也可巧取几个特征值结合排除法求解，或增速的定性研究．【解法1】（定

5、量）由题意，正三角形的高为，边长为．过点作边的垂线，于，于，则，所以，而，所以（）．因为导数，且随的增大而增大，故选D．【解法2】（特值）因为圆的半径为，所以的长（）等于圆弧所对的圆心角（角的单位：弧度）．由题意，正三角形的高为，边长为．当时，，当时，，排除选项B．当，弦心距，直线向上平移了，的增加量应比小，排除选项A（增量等于）和选项C（增量大于），故选D．【解法3】（定性）因为圆的半径为，所以的长（）等于圆弧所对的圆心角（角的单位：弧度）．当向上平移相等的距离，的增加量也是相等的，但是的增加量却是不相等的，越往上越小．因此，当匀速增加时，是加速增加的，排除选项A（

6、匀速增加）、B（加速减小）、C（是减速增加），故选D．【评注】图形运动问题常常集代数、几何于一体，设计一个或几个动态元素，然后建立函数模型来求解的综合问题．此类问题，往往是命题者通过几何画板来构题．由于是选择题，应遵循“小题小做”的原则，巧选几个特征值结合排除法是解决此类问题的上策．特别是当函数解析式难求的时候，尤其要利用特征值去求解．增速的定性研究要关注的意义．四、含参函数与含参二次方程交融问题【例4】（2013年高考安微卷理第10题）已知函数有两个极值点．若，则关于的方程的不同实根个数为（）A．B．C．D．【分析】与方程结构相同，所以，，进而利用、、的图象分、两种

7、情形数形结合求解．【解】依题意是方程的两个相异的实根，所以由方程可得或．当为极大值点时，，，在和上单调递增，在上单调递减，可知与的图象有两个不同的交点（横坐标为），与的图象只有一个交点（横坐标为，），即方程的有个不同实根．当为极大值点时，，，在和上单调递增，在上单调递减，可知与的图象有两个不同的交点（横坐标为），与的图象只有一个交点（横坐标为，），即方程的有个不同实根．综上，选A．【点评】发现与结构一致，把问题转化为求方程与的实根的个数，进而分类讨论和数形结合是解决本题的关键．五、系数为的含参三次函数性质问题【例5】（2013年高考新课标全国卷II文