巧用数形结合思想，妙解高考数学客观题-论文.pdf

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1、2015年第7期中学数学研究·25·巧用数形结合思想，妙解高考数学客观题福建省南安市教师进修学校(362300)陈俊斌数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关个不同的数。，z，⋯，，使系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，，()z)包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．数形结侍一=一X2=⋯=合是数学解题中常用的思想方法，浏览近几年全国，则n的取值范围是各省高考数学试题，数形结合思想的考查以客观题n图2为主．运用数形结合思想，能使某些抽象数学问题直()．观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于(

2、A){3，4}(B){2，3，4}把握数学问题本质，激发解题灵感，大大优化解题过(C){3，4，5}(D){2，3}程，本文拟通过5道高考数学客观题例说数形结合解析：由题意，函数y=思想的巧妙使用．_厂()上任一点的坐标为(，1、函数图形的对称问题))，故(i：1，2，⋯，函数图像具有直观生动的特征，从其上我们能i获取一些有用信息，如与坐标轴的交点，函数值的变n)可看成函数图像上的点化情况，变化趋势等，有时若能由形思数，利用图像(xl))与原点连线的斜图3的对称性来解决问题，也能起到意想不到的结果．率·如图3，

3、当连线位于OA，例1(2009高考辽宁·OA位置时，连线与图像有两个公共点，故n=2；当连线位于OA：，OA位置时，连线与图像有三个公共理8)已知函数厂()=量八Acos(∞+)的图像如图1所点，故n=3；当连线位于OA，位置时，连线与图像有⋯⋯＼四个公共点，故凡=4．选口．示予)=一3，则0)=图1点评：上述解法巧妙地利用的几何意义，()．(A)一T2()2(c)1(D)了1：：⋯：表明曲线上存在n个点一了12与原点连线的斜率相等，亦即过原点的直线与曲线解析：由图像可得最小正周期为，于是厂(0)Y=)有n个交

4、点，故该问题转化为直线与曲线=的交点个数问题，后“以形助数”、“数形结合”即可)，注意到与芋关于对称，所以孚)求出n的取值范围是{2，3，4}．=一等)=÷，故选．3、方程的根个数问题一些方程，不需要求出具体的根，或直接求解很点评：本题若使用常规方法，需依次求出∞，A，艰难，这时“由数思形”，可转化为相对应的函数图，才能求出0)，计算量大且容易出错，这里借助像的交点个数问题，再借助函数图像的直观性，达到余弦函数图像的对称性来求解则显得简便快捷，省“以形助数”，轻松求解问题的目的．时高效1例3(2013高考安徽·

5、理1O)若函数)=2、曲线与方程问题+口+6+C有极值点l，2，且／1)=l，贝0关对本身是以几何元素和几何背景建立起来的一于的方程3(／())+2)+b=0的不同实根些概念，如向量、复数、三角函数、直线的斜率等，这个数是()．时可“由数思形”，寻求代数式的图形背景及相关几(A)3()4(c)5(D)6何性质，在曲线与方程之间建立对应关系．解析：由条件可知()=3x十2ax+b，故，例2(2013高考安徽·理8)函数Y=-厂()的：是方程3+2ax+b=0的两实根，由该方程的二图像如图2所示，在区间[0，b]上

6、可找到n(凡>2)·26·中学数学研究2015第7期次项系数为正，可知函数●本解法先是巧妙地把所给含参不等式转化成两个函f，-厂()的单调性为先增后减再数值的符号相同问题，后通过作图，观察它们的共同f

7、增，故可作出函数_厂()的大特征，数形结合地得出它们的另一个交点位置是确／／／＼／致图像．令t=厂()，则方程／0／戈定的，从而有效地避免了传统解法的分类及繁杂的3(／))+2af()+b：0j，肛)数学运算及推理，顺利求出参数n的值．可化为3+2at+6=0，所5、质点碰撞问题以t=，t=，，要判断方程图4光的

8、反射问题事实上就是数学中的角相等问3(_厂())+2af()+b=0的不同实根个数，只需看题，当把光的反射规律迁移到质点的弹性碰撞时，仍两条直线t=，t=与函数)的图像有几个交有“入射角等于反射角”成立，这时，我们若能结合点．又)=<，作出图像如图4，易知两直线数学知识进行推理，准确作图，就能顺利解决问题．与函数图像有三个不同交点，故不同实根的个数为例5(2012年高考全国大纲卷·理12)正方形3．ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，4、含参不等式问题AE=BF=÷，动点P从E出发沿直线向F运动

9、，每有些不等式尤其是含参不等式用常规方法难以，解决，这时可以适当地转化，利用函数的观点看问当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射题，“由数到形”，观察函数图像的特征，挖掘出不等角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的式或不等式组，数形结合，从而求出参数的取值范次数为()．围．(A)16(B)14(C)12(D)lO解析：结合已知条件中例4(2012高考浙江·理17)设0∈R