差分方程的简单经济应用10-91.ppt

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1、第九节差分方程的简单经济应用一、差分方程的简单经济应用二、小结一、差分方程的简单经济应用差分方程在经济领域的应用十分广泛，下面从具体的实例体会其应用的场合和应用的方法.例一：存款模型设S为t年存款总额，r为年利率，t设SSrS，且初始存款额为S，求t年末的t1tt0本利和.解SSrSt1tt即S1rS0t1t这是一个一阶常系数线性齐次差分方程.特征方程为1r0，特征方程的根为1r，t于是齐次方程的通解为StC1r代入初始条件，得CS0t因此，t年末的本利和为SS1r.t0这就是一笔本金S存入银行后，年利率为r，0按年复利计息，

2、t年末的本利和.例2设P,S和D分别为某种商品在t时刻的价格、ttt供给量和需求量，这里t且取离散值，例如t0，1，2，3，，由于t时刻的供给量S决定于tt时刻的价格，且价格越高，供给量越大，因此常用的线性模型为ScdP，tt同样的分析可得DabPtt这里a，b，c，d均为正常数.实际情况告诉我们，t时期的价格P由t1时期的价格P与供给量tt1与需求量之差SD，按下述关系t1t1PPSDtt1t1t1而确定（其中为常数）.1.求供需相等时的价格P(均衡价格）；e2.求商品的价格随时间的变化规律.ac解1.由DS可得，P；ttebd2.由题

3、意可得PPSDtt1t1t1PabPcdPt1t1t1即P1bdPactt1这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程.其齐次方程的通解为tPC1bdt原方程的一个特解为acPPtebd原方程的通解为tPC1bdPte由于初始条件P一般已知，故由PCP00e可得CPP，0et从而，PPP1bdP.t0ee例3在农业生产中，种植先于产出及产品出售一个适当的时期，t时期该产品的价格P决定着t生产者在下一时期愿意提供给市场的产量S，t1还决定着本时期该产品的需

4、求量D，因此有tDabP，ScdPtttt1其中a，b，c，d均为正常数假设每一时期的价格总是确定在市场售清的水平上，即SD.tt1.求价格随时间变动的规律；2.讨论市场价格的种种变化趋势.解1.由SD可得，cdPabPttt1t即bPdPactt1dac即PPtt1bb这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程.td其齐次方程的通解为PtCbac原方程的一个特解为Ptbdtdac原方程的通解为PtC.bbdac由于初始条件P一般已知，故由PC00bdac可得CP，0bdtacd

5、ac从而PtP0.bdbbd2.分析市场趋向的种种形态dac11limPPttbtbdac这说明市场价格趋于平衡，且特解Ptbd是一个平衡价格.d21limPtbt这说明市场价格的波动越来越大，且呈发散状态.d31P2tP0，P2t12PtP0b这说明市场价格呈周期变化状态.例4消费模型设y为t时期国民收入，C为t时期tt消费，I为t时期投资，他们之间有如下的关系式tC＝yattItytbyyyCItt1t1t1t1其中，，a，b和均为常数，

6、且01，01，01，01，a0，b0.若基期的国民收入y已知，0试求y与t的函数关系.t解由题意可得y11yabtt1这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程.易求其方程的通解为tabyC11t1由y已知，得到0abtabyy11t011这就是t时期国民收入随时间t变化的规律.※例5萨谬尔森乘数——加速数模型设y为t时期国民收入，C为t时期消费，ttI为t时期投资，G为政府支出（各期相同）.t著名经济学家萨谬尔森建立了如下的经济模型

7、yCIGtttCt＝yt1I（CC）ttt1其中为边际消费倾向（常数），为加速数（常数），试求出y和t的函数关系.t解由题意可得yyyyGtt1t1t2即y（1）yyGtt1t2即y（1）yyGt2t1t这是一个二阶常系数线性非齐次差分方程.易求其方程的通解为ttGCC(若0)11221tGyt(