差分方程及其应用

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1、差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。§1基本概念线性差分方程

2、解的基本定理一、基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。设自变量取离散的等间隔整数值：是的函数，记作。显然，的取值是一个序列。当自变量由改变到时，相应的函值之差称为函数在的一阶差分，记作，即。由于函数的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。例如：设某公司经营一种商品，第月初的库存量是，第月调进和销出这种商品的数量分别是和，则下月月初，即

3、第月月初的库存量应是，若将上式写作，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记，并将理解为库存量是时间的函数，则称上式为库存量函数在时刻（此处以月为单位）的差分。按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数在的一阶差分的差分为函数在的二阶差分，记作，即。依次定义函数在的三阶差分为。一般地，函数在的阶差分定义为。上式表明，函数在的阶差分是该函数的个函数值，的线性组合。例1设，求，。解。。2、差分方程的基本概念先看例题。设是初始存款（时的存款），年利率，如以复利计息，试确定年末的本利和。在该问题中，如将

4、时间（以年为单位）看作自变量，则本利和可看作是的函数：。这个函数是要求的未知函数。虽然不能立即写出函数关系，但可以写出相邻两个函数值之间的关系式，，（1-1）如写作函数在的差分的形式，则上式为，，（1-2）由（1-1）式可算出年末的本利和为，。（1-3）在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函数，所以这是一个函数方程；又由于在方程（1-1）中含有两个未知函数的函数值和，在方程（1-2）中含有未知函数的差分，像这样的函数方程称为差分方程。在方程（1-2）中，仅含未知函数的函数值的一阶差分，在方程（1-1）中

5、，未知函数的下标最大差数是，即，故方程（1-1）或方程（1-2）称为一阶差分方程。（1-3）式是在之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1）或（1-2），这个函数称为差分方程的解。由上例题分析，差分方程的基本概念如下：含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。例如就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函数在不同点的函数值的线性组合，因此

6、上差分方程又可分别表示为。正因如此，差分方程又可定义为含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。上方程为二阶差分方程。阶差分方程的一般形式可表示为，（1-4）或，（1-5）由于经济学中经常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（1-5）式的差分方程。若把一个函数代入差分方程中，使其成为恒等式，则称为差分方程的解。含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得

7、通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。一阶差分方程的初始条件为一个，一般是（是常数）；二阶差分方程的初始条件为两个，一般是，（，是常数）；依次类推。二、线性差分方程解的基本定理现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论。二阶线性差分方程的一般形式，（1-6）其中，和均为的已知函数，且。若，则（1-6）式称为二阶非齐次线性差分方程；若，则（1-6）式称为，（1-7）定理1若函数，是二阶齐次线性差分方程（1

8、-7）的解，则，也该方程的解，其中、是任意常数。定理2(齐次线性差分方程解的结构定理)若函数，是二阶齐次线性差分方程（1-7）的线性无关特解，则是该方程的通解，其中、是任意常数。定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理）若是二阶非齐次线性差分方程（1-6）的一个特解，是齐次线性差分方程（1-7）的通解，则差分方程（1-6）的通解为。定理4(解的叠加原理)若函数，分别是二阶非齐次线性差分方程与的特解，则