浅谈差分方程的应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2006年8月中央民族大学学报(自然科学板)Aug．2006第15卷第3期JournaloftheCUN(NaturalSciencesEdition)、’0ll5No3浅谈差分方程的应用杨清霞(中央民族大学预科部，北京100081)摘要：本文给出了差分方程的三个实际『u]题模型，l片对模型做了简单的讨论关键词：线性；差分方程；模型中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1005—8036(2006)03．0282．04随着信息技术的日益普及和发展，离散数学的应用越来越广泛．数列的差分和差分方程这部分内容，

2、有很强的应用价值，可以看作是连续函数的导数和微分方程的离散化．并且在实际问题中，许多变量的变化都是通过差分来分析的．差分的应用十分广泛，但是许多大学并没有把它列入基础课的内容，甚至数学系的学生也很少学到，因此，本文想就一阶线性差分方程、一阶线性差分方程组以及一阶非线性差分方程三方面的问题，分别举出生活中的实例，希望能对学生在领会差分方程的应用上有所帮助，1一阶线性差分方程的应用一减肥模型1．1模型引入随着人们生活水平的提高，减肥健美之风日益盛行，正确地了解减肥机理对普通人来讲是一件有意义的事情；另外，为了在市场紧缺时能及时提供合格的肉类，有关部门必须考虑如何

3、在较短的时间内使饲养牲畜达到增肥的目的．这些貌似不同的问题，其实在一定简化基础上的数学模型是相同的，下面我们就来讨论减肥问题的数学建模⋯．1．2建立模型生物学和医学告诉我们，影响人体体重的主要因素有每天进食产生的热量、人体活动(特别是锻炼)消耗的热量以及维持人体新陈代谢所消耗的热量．我们从以上三方面人手定量进行数学建模的分析，当然，下面的模型不适用于遗传性肥胖的人．用Wn(单位：公斤)来表示某人在第n天的体重，对于一个成年人来说，体重主要由骨骼、水和脂肪三部分重量组成．而骨骼和水大体上可以认为是不变的(是一常数)，因而，可以把W理解为第n天脂肪的重量．先做如

4、下假设：假设人体活动消耗的热量和体重成正比，记为Bw，。(B>0)，假设新陈代谢消耗的热量和体重也成正比，记为C(C>0)，假设每天的进食热量都是一样的，为常数A，并且已知完全消耗(“燃烧”)一公斤脂肪会转化成约D：10000大卡的热量．收稿日期：2006．02．18作者简介：杨清霞(1977一)，女(汉族)-【U东梁山人，中央民族大学预科郎讲帅，硕土维普资讯http://www.cqvip.com第3期杨清霞：浅谈差分方程的应用由于我们把理解为第n天脂肪的重量，而人体脂肪不可能全都转化成热量，所以有0<+C

5、体重和它的差分△满足的差分方程．一个人从第天到第+1天，体重的变化为△：一，体内热量的变化为DAu，，而体内热量的变化为进入人体的热量减去消耗的热量，所以有DAw=A一(+C)这样，我们就得到了用差分方程来描述的“减肥”的数学模型．1．3模型的解整理上述方程为：：一记。：，=，则有l=。+(1一b)此差分方程的通解为：：詈+(·一(。一詈)1．4模型分析因为0孚时，要想达

6、到理想体重就需要减肥．(2)人的理想体重为，所以每天进食的热量A越少，每天消耗的热量+c越多，体重的理想值就越小．而且通过控制A和，可以使人的体重达到任意理想的值．(3)不进食的节食减肥法是很危险的．因为若A：0，则趋向于0，体重都“没有”了，哪还能活命!媒体也报道过好多例子，由于产生厌食症从而抵抗力减弱，导致并发症而死亡．最后需要说明的是，本模型是实际问题的简化，因此与实际问题有很大的差距．要想得到更好的模型还需要考虑更多的因素，做更加细致的分析．12一阶线性差分方程组的应用一生态模型2．1模型引入在某个生态环境中，兔子以草为食，狐狸靠吃兔子生存．因此，兔

7、子数量增加，狐狸数量也会增加．狐狸数量的增加，又会使兔子的数量减少．而兔子数量减少，由于食物缺乏狐狸的数量还会相应地减少．显然，它们的数量关系是相互制约的．为了更好的研究此生态系统中兔子和狐狸的相互制约关系，下面考虑一个简化的“兔子一狐狸生态模型”．2．2建立模型如果没有狐狸，假设兔子每年增长10％．但是，狐狸的出现使兔子减少，假设兔子减少的数量和狐狸数量成正比，比例系数为0．15．维普资讯http://www.cqvip.com中央民族大学学报(自然科学版)第l5卷另一方面，在没有兔子的情况下，假定狐狸数量每年减少15％．但是兔子的出现使狐狸数量增长，假设

8、狐狸增加的数量和兔子数量成正比，比例系数为0．1．设