[经济学]考研数学差分方程及其应用

《[经济学]考研数学差分方程及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、附录：差分方程及其应用一、差分的概念定义1设函数兀=)心).称改变量X+]-X为函数X的差分，也称为函数X的一阶差分，记为△%,即Ay,=yt+]-yt或Ay(r)=y(t+1)->'f+l-△)'/=(X+2一X+1)一(X+1->)=X+2-2兀+1+类似可定义三阶差分，四阶差分,……A3y,=A(A2y/),小”=△(△、)，……例1设儿二f2+2丫_3,求21兀，dryf。解4)=yt+i~y=[(r+O2+2(/+l)-3]-(/2+2/-3)=2r+3。^yt=0(/开)=儿+2一2兀+]+另=[(/+2)2+

2、2(r+2)-3]-2[(r+l)2+2(r+D-3]+r+2—3=2。二、差分方程的概念定义2含有未知函数兀的差分的方程称为差分方程.差分方程的一般形式：FdMyMd，或G(t,开，开+],开+2，…，yt+fl)=0.差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.差分方程的不同形式可以互相转化.定义3满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解屮含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件,这种附加条件称为初始条件，满足初始条件的解称为特解.定义4若差分方程

3、屮所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的，则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)7+”+4(/)刀+“-

4、+・.・+Q“_i(/)X+i+Q”(/)X=/(O其特点是yt+n,”+“+[，…，幵都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程-阶常系数线性差分方程的一般形式为：x+i-Py,=f(t)(1)其中,p为非零常数，几)为已知函数如果f(t)=0,则方程变为：＞7+1-Pyt=0称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：兀+1+=/(/),(

5、2)英中常数qhO,/⑴为/的已知函数，当/(/)不恒为零时，(2)式称为一阶非齐次差分方程；当/(r)=0时，差分方程：y/+1+ay,=0(3)称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。下面给出差分方程的迭代解法。1、求齐次差分方程的通解把方程(3)写作”+]=(—a)%,假设在初始时刻,即20时，函数兀取任意常数C。分别以(=0,1,2,…代入上式，得X=(―a)y()=C(-a),y2=(-a)y0=C(-a)2,X=(一。)‘y0=C(-cz)z,f=0丄2,…。最后一式就是齐次差分方程(3)的通解。特别地，当a=-l时，齐次差分方程(3)的通解为：t=0,

6、1,2,••-o2、求非齐次线性差分方程的通解1、设/(/)=b为常数此吋，非齐次差分方程(2)可写作：幵+

7、=(-a)幵+方。分别以/=0,1,2,…代入上式，得力=(一仍0+b°?2=(一")〃+b=(-a)y()+b[+(-a)]y3=(-^))?2+/?=(-«)3y0+Z?[l+(-d)+(-a)2]o(4)开二(一")b+如+(—a)+(-舁+…+(—a)"]若-dHl,则由(4)式用等比级数求和公式，得儿=(_a)5+沙(Q),7=0,1,2,…，或1+d儿=(—a)'(yo—丄)+丄1+d1+difb其中C=yG-—为任意常数。1+d若一。=1,则由(4)式

8、，得：开=儿+勿=C+如，t=0,1,2,…，其屮C=y0为任意常数。/b综上讨论，差分方程开+

9、+°兀=方的通解为：°(一。)‘+兀；'°鼻—h(5)C+bt»ci——lo上述通解的表达式是两项之和，其中第一项是齐次差分方程(3)的通解，第二项是非齐次差分方程(2)的一个特解。这里，当。工-1时，由上式所确定的解序列开(/=1,2…)的特性作两点说明：11例2求解差分方程y=-03解：由于。=一一，b=_,-^-=-o由通解公式(5),差分方程的通解为251+Q523沪写七，(C为任意常数)。2、/(/)为一般情况此吋，非齐次差分方程可写作：X+i=(-0)开+/(0。分别

10、以7=0,1,2,…代入上式，得力=(-叭+/(°)，〉，2=(-a)y{+/(I)=(-a)2yQ+(-6/)/(0)+/(l),>‘3=(-。))勺+/(2)=(一Q)‘Vo+(-a)?/(0)+(-aOf⑴+/(2),……(6)儿=(—MJo+(-犷/(0)+(-a)1'2/(I)+…+(-a)f(t—2)+/(—1)=C(-a)1+工(-a)"/(f-£-1)。k=0其屮C=y0是任意常数。(6)式就是非齐次差分方程(2)的通解。其中第一项是齐次差分方程(3)的通解，第二项是非齐次线性差分方程(