微分方程差分方程在经济学中的简单应用课件

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1、8.7微分方程、差分方程在经济学中的简单应用一、一阶微分方程在经济学中的应用二、二阶微分方程在经济学中的应用三、差分方程在经济问题中的简单应用例1（弹性问题）设商品的需求弹性为常数），求该商品的需求函数解根据需求弹性的定义，可得微分方程一、一阶微分方程在经济学中的应用这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分得因此需求函数为其中C为任意正常数.例2（供给与需求问题）在实际问题中，价格P一般是随时间的变化而变化的，即价格P是时间t的函数.而供给量S与需求量D都是价格P的函数，从而供给量S和需求量D

2、也是时间t的函数．并且供给和需求量不仅仅取决于随时间t而变化的价格，而且还受价格变化率的影响，于是，我们可以假设：如果时，价格是12，试将市场均衡价格表示解我们知道，要求市场的均衡价格，只要令即可，于是有：的变化率.设某商品的供给和需求函数分别满足的函数.为时间表示价格关于时间时刻的价格，表示其中整理得解此一阶线性微分方程得再将初始条件代入得因此，这就是均衡价格关于时间的函数．那么意味着价格随时间的推移而无限增大，此时认为如果这意味着这种商品的市场价格稳定，并且商品的价格趋向于7．价格不稳定(膨胀)．

3、显然，在此例中满足例3（逻辑斯谛曲线）在商品销售预测中，时刻的表示．如果商品销售的增长速度正比于销售量与销售接近饱和水平的程度之乘积(为饱和水平），求销售函数解根据题意，可建立微分方程这里k是比例因子.销售量用这是一个可分离变量的微分方程，求得其通解为该函数的图像称为逻辑斯谛曲线.其中C为大于0的任意常数,可由给定的初始条件确定.例4（市场均衡价格模型）设市场上某商品的需求和初始条件为试求在市场均衡条件下，该商品的价格函数供给函数分别满足二、二阶微分方程在经济学中的应用解据题意，由得微分方程其对应的齐

4、次程的特征方程为解得其共轭复根为于是对应齐次方程的通解为,由于原方程右端为常数4，因此可设特解为代入原方程可得因此原方程的通解为代入初始条件可得因此该商品的价格函数为例5设某种商品t时期的供给量St与需求量Dt都是这一时期价格Pt的线性函数：则t时期的价格Pt由t-1时期的价格Pt-1与供给量及需求量之差St-1-Dt-1按以下关系确定即三、差分方程在经济问题中的简单应用例6（存款模型)为期存款总额，利率，按年复利计息，则与有如下关系式：这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中为初始存款总额.为

5、存款其通解为设例7（贷款模型）设每个月应付x元(贷款额为元）,月利率是第一个月应付利息为可入住,另一半由银行以年利r贷款,均每月付多少元？共付利息多少元？n年付清，问平设某房屋总价为a元,先付一半解第二个月应付利息为于是依此类推可得这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，所以特征根为，其对应的齐次线性差分方程的特征方程为其对应的齐次线性差分方程的通解为由于1不是特征方程的根，代入原方程，得即于是故原方程的通解为于是令特解当时，得所以原方程满足初始条件的特解为于是n年利息之和为由于上式中也是总利息，所以有

6、从而得因此，平均每月付元，共付利息元.该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年例8（筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育.并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，共计支取10年，直到子女完成学业并用完全部资金.要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%，10年后子女大学毕业用完全部资金.分析解设从现在到20年内共要筹措x元资金，第n个月每月存入资金a元.同时.投资账户资金为In元，也

7、设20年后第n个月投资帐户资金为Sn元，于是，20年后，关于Sn的差分方程模型为每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在20年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元，10内用完所有资金.并且解方程(9)，得通解以及（9）从而有从现在到20年内，In满足的差分方程为(10)解方程(10),得通解，且以及从而有即要达到投资目标，20年内要筹措资金90073.45元，平均每月要存入银行194.95元.在自由市场上一定注意过这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量你远大于需求量时，销售不畅会导致价格下跌，

8、农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副产品.过一段时间猪肉上市量减少，供不应求导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求,价格下跌的局面.在没有外界干预的条件下，这种现象将一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种现象是永远不可避免的.由于商品的价格主要由需求例9(动态经济系统的蛛网模型)关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少，因而价格越低.而下一个时期商品的数量是由生产者的供求关系决定，商品价格越低，生产