差分方程在经济分析中的应用

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1、差分方程在经济分析中的应用商业石哥究羞茄穆茌经济析中的应鞘汤茂林武汉商业服务学院【摘要】动态系统中变量间的关系往往表作一个(组)微分方程或差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的是连续变量，而后者处理的则是依次取非负整数的离散变量，这两类方程在经济研究中有着重要的应用。本文着重介绍差分方程在经济分析中的应用。【关键词】差分方程存(贷)款消费供需数学模型在经济分析中往往需要寻找与问题有关的变量之间的函数关系，这类问题可用微分方程来解决．但是．许多实际问题中．数据大多是按时间间隔周期统计．因此．有关变量的取值是离散变化的．如何寻求它们之

2、间的关系和变化规律呢7差分方程则是研究这类离散型数学问题的有力工具。一差分方程简介定义：含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程．一般形式为F(x．yy一．??y、)：0形如y一一ay=f(x)(a≠0为常数)(1)当f(x)三0则y一一ay=O(2)(1)式称为～阶常系数非齐次线性差分方程(2)式称为一阶常系数齐次线性差分方程。对应于方程(2)的特征方程为”一a=O．即入一a=0而=a为特征方程的根(简称特征根)．从而Y=ca(C为任意常数)是齐次方程(2)的通解。对于方程【1)设特解为Y：．若f{x)=P(

3、x)．则方程(1)具有形如Y：=x(x)的特解．其中Q{x)是与P(x)同次的待定多项式．而K的值由如下确定．【1)若1不是特征方程的根．k=0．(2)若1是特征方程的根．k=一1故方程【1)的通解为y、Y：+Y若f(x)=Pn(x型．此时方程(1)为Y一ay=(x胙变换令Y=则原方程为MZ,一aZ一P(x)．可得z．于是Y=“、Z。二、差分方程应用举例1存款模型例1：设本金为P．年利率为r一年后本利和为S．求n年末的本利和为多少。解：‘．S=S+rS即S+一(1+r)S=O．这是一个一阶常系数齐次线性差分方程其特征方程为一({+r)

4、=O．解得特征根为=1+r．于是齐次线性差分方程的通解为s==c(1)、．当c=SOt'-J;，S~=So(1+r)，这就是初始存款S．年利为r．按年复利计息．n年末的本利和公式。2．贷款模型例2：某房屋总价为a元．先付一半可入住，另一半由银行以年利r贷款n年付清问平均每月付多少元7共付利息多少元7解：设每个月应付x万元(贷款额为万元)．月利率是．第～一l‘个月应付利息为，二；=．第二个月应付利息为《商场现代纯2008年4月(中旬刊)总第536期．：-X+詈×]×：c+．M一。于是类推可得；咒：(1+一x．即“一(J+=一蔗

5、这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程其对应齐次昝性葶分方程的特征方程为一(1+矗)=0．所以特征根为A：l+．萁对应的齐次线性差分方程的通解为．=C(1+。由十1不是特征万栏的根．于是令Y8代入原方程得口=(1+一即x：a．于是Yx．故原方程的通解为d，’+tc=所以l2方程满足初始条件台勺特懈为于是n年利息之和为，=++??+。=12×：--『L+(+)+??+(+)一]+1。十+一-矗喾一：!+一竺一!：：：‘2l22，、款数．12rlx--要是利息I。手g一12×f】+二籼×二于是：．i12;12：(J+r一r一害维普资讯//.

6、cqvip4>>商业研究即：每月还款额=贷款本金×i等曼篙这就是平均每月偿还贷款本金和利息的计算公式。而利息I：12nx--~，即．．利息=每月还款额X贷款期数～贷款本金3．消费模型例3：设Y，为t期国民收入，C．为t期消费，【为投资(各期相同)．设三者有关系y．--C．+I。C=ay：一1-t-D．且已知t=0时．y；=yo其中0<a<1．p>0试求Y．和C．。解：由Y。=C。+I，C。=ay．_．-t-p得y,-ay。：D+I这是一个常系i数非齐次线性差分方程．其对应的齐次线性差分方程的特征方程!为九一a：o．得

7、入一．于是方程的通解为Y。：caL，由于1不是特征根，；于是令Yj=a．代入原方程得a=T二／3+i1．因此，原方程的通解为j：咒=阮’’Ffl+iI，又由于t=。时，y。=y。求得c=粥一Fp+il，于是得到；咒：I％一孚竖】a+拿竖，上式即为t期国民收入随时问t变化的规律。lI一口IJ一口从而q—J=卜篾卜兰七卜筹卜等4供需模型例4：某种商品t时期的供给量s，与需求量D．都是这一期价格P的线性模型；S=一a+bp，(a．b>0)．D=c—dp．．(C．d>0)，设t时期的价格P，由t一1时期的价格P．．．与供给量及需求

8、量之差SI-D。一，按下述关系：P=P．一，一入(S：-D。)所确定．(其中入为常量)，即P-J1一入(b—d)】Pl一，=入(a+c)，(1)求供需相等时的价格P．(称为均衡价格)。(2)求商品的价格随时间的变化规律。