2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用教学案.docx

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1、第3讲　圆锥曲线的综合应用[考情考向·高考导航]1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或拋物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．[真题体验]1．(2019·北京卷)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若

2、OM

3、

4、·

5、ON

6、＝2，求证：直线l经过定点．解析：(1)因为椭圆的右焦点为(1,0)，c＝1；因为椭圆经过点A(0,1)，所以b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，y1y2＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝.直线AP：y－1＝x，令y＝0得x＝，即

7、OM

8、＝；同理可得

9、ON

10、＝.因为

11、OM

12、

13、ON

14、＝2，所以＝＝2；＝1，解之得t＝0，所以直线方程为y＝kx，

15、所以直线l恒过定点(0,0)．答案：(1)＋y2＝1　(2)见解析2．(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)

16、，则x1＞0，x2＞0.由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.①将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.[主干整合]1．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，

17、y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长

18、P1P2

19、＝

20、x2－x1

21、或

22、P1P2

23、＝

24、y2－y1

25、(k≠0)，其中求

26、x2－x1

27、与

28、y2－y1

29、时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

30、x2－x1

31、＝，

32、y2－y1

33、＝.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．2．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有：①

34、OP

35、∈[b，a]；②

36、PF1

37、∈[a－c，a＋c]；③

38、PF1

39、·

40、PF2

41、∈[b2，a2]；④∠F1PF2

42、≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：①

43、OP

44、≥a；②

45、PF1

46、≥c－a.(3)拋物线中的最值点P为拋物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则有：①

47、PF

48、≥；②A(m，n)为一定点，则

49、PA

50、＋

51、PF

52、有最小值．3．拋物线焦点弦的几个重要结论直线AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，交拋物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)

53、AB

54、＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x

55、2时，弦长最短为2p.(3)＋为定值.(4)弦长

56、AB

57、＝(α为AB的倾斜角)．(5)以AB为直径的圆与准线相切．热点一　圆锥曲线中的范围、最值问题数学运算素养数学运算——圆锥曲线问题的核心素养以圆锥曲线问题为载体，借助相关知识，通过式的变形考查运算求解能力，体现了数学运算的核心素养.构造函数求最值[例1－1]　(2019·全国Ⅱ卷)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线．(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为

58、E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．[审题指导]　(1)利用斜率公式及k