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时间:2019-11-16
《2019年高考数学大二轮复习 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合应用练习 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二篇专题六第3讲圆锥曲线的综合应用[限时训练·素能提升](限时50分钟,满分48分)解答题(本题共4小题,每小题12分,共48分)1.(2018·浙江)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.解析 (1)设P(x0,y0),A,B.因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程=4·.即y2-2y0y+8x0-y=0的两个不同的实根.所以y1
2、+y2=2y0.因此,PM垂直于y轴.(2)由(1)可知所以
3、PM
4、=(y+y)-x0=y-3x0,
5、y1-y2
6、=2.因此,△PAB的面积S△PAB=
7、PM
8、·
9、y1-y2
10、=(y-4x0).因为x+=1(x0<0),所以y-4x0=-4x-4x0+4∈[4,5],因此,△PAB面积的取值范围是.2.(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:
11、
12、,
13、
14、,
15、
16、成等差数列,并求该数列的公差.解析
17、 (1)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得018、19、=.于是20、21、===2-.同理22、23、=2-.所以24、25、+26、27、=4-(x1+x2)=3.故228、29、=30、31、+32、33、,即34、35、,36、37、,38、39、成等差数列.设该数列40、的公差为d,则241、d42、=43、44、45、-46、47、48、=49、x1-x250、=.②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得51、d52、=.所以该数列的公差为或-.3.(2018·北京)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.解析 (1)因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2p=4,即p=53、2.故抛物线C的方程为y2=4x.由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或054、由=λ,=μ得λ=1-yM,μ=1-yN.所以+=+=+=·=·=2.所以+为定值.4.(2018·佛山模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线4x+3y-5=0与以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标;②若O为坐标原点,求·的取值范围.解析 (1)由题意可得离心率e==,又直线4x+3y-5=0与圆x2+y2=b2相切,所以b==1,结合a2-b2=c2,解55、得a=,所以椭圆C的标准方程为+x2=1.(2)①设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知A(0,-),又直线AM与AN的斜率之积为1,所以·=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t(k≠0),代入椭圆方程,消去y可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,所以x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-=,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,所以=++3,化简得t2+3t+6=0,解得t=-2(-56、舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点的坐标为(0,-2).②由①可得·=x1x2+y1y2=+==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2
18、
19、=.于是
20、
21、===2-.同理
22、
23、=2-.所以
24、
25、+
26、
27、=4-(x1+x2)=3.故2
28、
29、=
30、
31、+
32、
33、,即
34、
35、,
36、
37、,
38、
39、成等差数列.设该数列
40、的公差为d,则2
41、d
42、=
43、
44、
45、-
46、
47、
48、=
49、x1-x2
50、=.②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得
51、d
52、=.所以该数列的公差为或-.3.(2018·北京)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.解析 (1)因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2p=4,即p=
53、2.故抛物线C的方程为y2=4x.由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或054、由=λ,=μ得λ=1-yM,μ=1-yN.所以+=+=+=·=·=2.所以+为定值.4.(2018·佛山模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线4x+3y-5=0与以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标;②若O为坐标原点,求·的取值范围.解析 (1)由题意可得离心率e==,又直线4x+3y-5=0与圆x2+y2=b2相切,所以b==1,结合a2-b2=c2,解55、得a=,所以椭圆C的标准方程为+x2=1.(2)①设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知A(0,-),又直线AM与AN的斜率之积为1,所以·=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t(k≠0),代入椭圆方程,消去y可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,所以x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-=,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,所以=++3,化简得t2+3t+6=0,解得t=-2(-56、舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点的坐标为(0,-2).②由①可得·=x1x2+y1y2=+==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2
54、由=λ,=μ得λ=1-yM,μ=1-yN.所以+=+=+=·=·=2.所以+为定值.4.(2018·佛山模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线4x+3y-5=0与以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标;②若O为坐标原点,求·的取值范围.解析 (1)由题意可得离心率e==,又直线4x+3y-5=0与圆x2+y2=b2相切,所以b==1,结合a2-b2=c2,解
55、得a=,所以椭圆C的标准方程为+x2=1.(2)①设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知A(0,-),又直线AM与AN的斜率之积为1,所以·=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t(k≠0),代入椭圆方程,消去y可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,所以x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-=,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,所以=++3,化简得t2+3t+6=0,解得t=-2(-
56、舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点的坐标为(0,-2).②由①可得·=x1x2+y1y2=+==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2
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